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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 72

Encontre f x   ,   f y   ,   f x y   e   f y x e diga qual é o domínio para cada derivada parcial.

Passo 1

f x , y = x ,   x ≥ 0 x 2 ,   > 0

Para calcular as derivadas parciais, usaremos a abordagem padrão, mas também a modificaremos para refletir essa situação. Como f é definido com base no sinal de x, vamos separar 3 casos ao calcular f x ,   x > 0 ,   x < 0   x = 0 . Observe que f(x,y) depende apenas de x, o que simplificará bastante o cálculo de f y e f y x . Por causa disso, vamos começar com f y e f y x e então trabalhe nas derivadas parciais restantes.

Passo 2

Como já observamos, como f(x,y) depende apenas de x, segue-se imediatamente que

f y = 0

Temos que f x , y é definido para todo (x,y) ∈ R², e subsequentemente f y também. Isso significa que o domínio de f y é o espaço inteiro R ² .

Agora que sabemos f y , é fácil calcular f x y . Nós temos

f y x = f y x = 0 x = 0

Desde f y é definido para todos os pontos no espaço, então será f y x . Concluímos que o domínio de f y x é o espaço inteiro R² também.

Para x > 0.

Da definição de f ( x , y ) temos agora que

f x = ∂ f ∂ x = ∂ x ∂ x = 1 2 x

Observe que esta expressão é definida para x>0. Isso é de grande importância quando discutimos o domínio de f x .

Passo 3

Para x

Da definição de f ( x , y ) temos agora que

f x = ∂ f ∂ x = ∂ x 2 ∂ x = 2 x

Observe que essa expressão é definida para todo x, o que implica que f x será definido para x

Para x = 0.

Neste caso, temos que calcular f x por definição. Isso decorre do fato de que f ( x , y ) se comporta de maneira diferente quando abordamos x a partir de valores negativos e de valores positivos. seja y arbitrário. Por definição temos que

f x ( 0 , y ) = l i m h → 0   f ( 0 + h , y ) - f ( 0 , y ) h = l i m h → 0   f ( h , y ) - f ( 0 , y ) h l i m h → 0 +   f ( h , y ) - f ( 0 , y ) h = l i m h → 0 +   h - 0 h = l i m h → 0 +   1 h = ∞

Somando os resultados desses três casos podemos formar a forma geral de f x . Para ser mais preciso, concluímos que

f x x , y = 1 2 x ,     x > 0 2 x ,     x < 0

Vamos agora calcular f x y . Como o domínio de f x é x   ≠ 0 , o domínio de f x y é um subconjunto desse conjunto! Observe que f x não depende de y, então podemos concluir imediatamente que

f x y = f x y = 0

Esta expressão é válida para todos os valores no domínio de f x , então concluímos que o domínio de f x y é o conjunto x ≠ 0 .

Resposta

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Seja f x , y =x 3 x 2 + y 2 0 ,s ex , y = ( 0,0 ) ,s ex , y ≠ ( 0,0 ) Verifique que f t x ,t y = t f x , y , para todo x e y . Olhe para a questão e responda: f é diferenciável em ( 0,0 ) ?Por quê ?
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que
Seja f defninda em R 2 , diferenciável em ( 0,0 ) e tal que f t x , t y = t f ( x , y ) para todo t ∈ R e todo x , y ∈ R 2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f x , y = a
Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f, sendo z = f x , y ea) x = t 2ey = 3 t .
Seja g t = f 3 t , 2 t 2 - 1 . a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f.b) Calcule g ' t admitindo ∂ f ∂ x 0 , - 1 = 1 3 .