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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 67

Os Exercícios 67 e 68 estão relacionados com o triângulo mostrado a seguir.

Expresse A implicitamente com uma função de a, b e c e calcule ∂A/∂a e ∂A/∂b

Passo 1

Antes de começar, observe que as letras maiúsculas na imagem fornecida na tarefa representam ângulos dentro do triângulo. Existem 22 partes da tarefa que precisamos resolver. Primeiro, precisamos expressar o ângulo A em função dos comprimentos dos lados a, b e c. Depois disso, somos solicitados a encontrar as derivadas parciais de A em relação às várias variáveis

Passo 2

Começamos expressando A como a função implícita. Como A é o ângulo entre b e c, podemos usar a lei dos cossenos para expressá-lo como:

a 2 - b 2 - c 2 + 2 b c c o s A = 0

Observe que a função acima é de fato a função implícita onde A é expressa em termos de outros 3 lados. Resta encontrar ∂ A ∂ a e ∂ A ∂ b .

Agora, lembre-se de como diferenciamos implicitamente as expressões como (1). Fazemos isso tomando a derivada parcial em relação a aa de ambos os lados da expressão, mas sempre que diferenciamos o termo envolvendo A, nós o diferenciamos e então adicionamos ∂ A ∂ a . O lado direito permanece 0, então simplesmente expressamos ∂ A ∂ a . O mesmo procedimento é então repetido com ∂ A ∂ b . Nós calculamos:

∂ ∂ a a 2 - b 2 - c 2 + 2 b c c o s ⁡ A = 2 a - 2 b c s i n ⁡ A ( ∂ A / ∂ a ) = 0 ∂ A / ∂ a = a b c s i n ⁡ A ∂ ∂ b a 2 - b 2 - c 2 + 2 b c c o s ⁡ A = - 2 b + 2 c c o s ⁡ A - 2 b c s i n ⁡ A ( ∂ A / ∂ b ) ∂ A / ∂ b = c c o s ⁡ A - b b c s i n ⁡ A

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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Admita que, para todo ( x , y ) ,4 y (del f)/(del x) (x , y) - x (del f)/(del y) (x , y) = 2 . Calculeg^' (t) , sendo g (t) = f (2 c o s t , s e n t) .
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Admita que, para todo (x,y), 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 . Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 . (Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valor
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