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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 12

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ u   e   ∂ z ∂ v   , usando a regra da cadeia

z   = x 2 + y 3   ,   x = u 2 + 1   ,   y =   v 2 3

Passo 1

z u , v =   f x u , y v

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

O segundo termo do lado direito é nulo, pois y não é função de u

Entao ficamos com:

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a v

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

O primeiro termo do lado direito é nulo, pois x não é função de v

Entao ficamos com:

∂ z ∂ v = ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ x = x x 2 + y 3

∂ x ∂ u = 2 u

∂ f ∂ y = 3 y 2 2 x 2 + y 3

∂ y ∂ v = 2 3 v - 1 3

Substituindo nas nossas equações

∂ z ∂ u =   x x 2 + y 3 2 u

∂ z ∂ v = 3 y 2 2 x 2 + y 3 2 3 v - 1 3

Passo 3

Deixando tudo em função dos parâmetros

∂ z ∂ u =   ( u 2 + 1 ) ( u 2 + 1 ) 2 + v 2 2 u

∂ z ∂ v = v ( u 2 + 1 ) 2 + v 2

Resposta

∂ z ∂ u =   ( u 2 + 1 ) ( u 2 + 1 ) 2 + v 2 2 u

∂ z ∂ v = v ( u 2 + 1 ) 2 + v 2

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Escrever a regra da cadeia parab) h ( x ) = f x , u x , v ( x )
Escrever a regra da cadeia parac) h ( u , v , w ) = f x ( u , v , w ) , y u , v , z ( w )
Escrever a regra da cadeia paraa) h ( x , y ) = f x , u x , y