Escrever a regra da cadeia para

a) h(x, y) = f(x, u(x, y))

Passo 1

Bom, pessoal, vamos fazer uma jogada aqui para calcular essas derivadas. Seja v = x e u = u ( x , y ) . Assim, temos:

h x , y = f v , u

Calculando a derivada parcial em relação a x :

∂ h ∂ x = ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x

∂ h ∂ x = ∂ f ∂ v ⋅ 1 + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x

∂ h ∂ x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x

Passo 2

Calculando a derivada parcial em relação a y :

∂ h ∂ y = ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y

∂ h ∂ y = ∂ f ∂ v ⋅ 0 + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y

∂ h ∂ y = ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y

Resposta

As derivadas são iguais a:

∂ h ∂ x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x

∂ h ∂ y = ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y

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