Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 38
O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de cm/s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de cm/s. Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é cm e a altura é cm?
Passo 1
Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntos hoje aqui!
Nessa questão, devemos analisar a taxa de variação do volume de um cone.
Todavia, antes disso, devemos ter o conhecimento de como calcular o volume de um cone:
, sendo o raio da base do cone e a altura do cone.
Os dados fornecidos pela questão são:
A taxa de variação do raio:
A taxa de variação da altura:
Como as variáveis da função , dependem do tempo, será necessária a Regra da Cadeia.
Passo 2
Temos então que calcula as derivadas parciais:
Aqui a gente deriva em relação a
Agora a gente deriva em relação a :
Temos então:
Passo 3
Então a gente vai ter na nossa equação:
Substituindo o que encontramos:
Agora a gente substitui pelos valores que nos foram dados:
Agora a gente substitui os valores que nos foram dados no enunciado sobre o cone:
Realizando os produtos:
Realizando as divisões:
Terminamos então com: