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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 14

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ u   e   ∂ z ∂ v   , usando a regra da cadeia

z   = x e y   ,   x = u v   ,   y = u - v

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z u , v =   f x u , v , y u , v

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a u

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a v

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ x = e y

∂ f ∂ y = x e y

∂ y ∂ v = - 1

∂ y ∂ u = 1

∂ x ∂ u = v

∂ x ∂ v =   u

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ z ∂ u = e y ( v ) + x e y ( 1 )

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

∂ z ∂ v =   e y ( u ) + x e y ( - 1 )

Deixando tudo em função dos parâmetros u e v

∂ z ∂ u = e ( u - v ) ( v ) + ( u v ) e ( u - v )

∂ z ∂ v = e ( u - v ) u - ( u v ) e ( u - v )

Resposta

∂ z ∂ u = e ( u - v ) ( v ) + ( u v ) e ( u - v )

∂ z ∂ v = e ( u - v ) u - ( u v ) e ( u - v )

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