Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 48
Se , onde e , mostre que
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!
A questão nos diz que há uma função do tipo onde e e pede para que provemos o seguinte:
Certo, mas como fazemos isso sem nem ter a função ?
Vamos relembrar a regra da cadeia para funções múltiplas variáveis:
Para uma função no formato onde e , a derivada pode ser definida como:
E a derivada pode ser definida como:
Nós não podemos calcular ou mas veja que esses termos aparecem nessas fórmulas! Então vamos substituir e na expressão da questão e ver o que podemos fazer!
Passo 2
Ok, vimos que a derivada de em é
Mas nós temos as expressões de e ! Então vamos calcular suas derivadas em !
Para nós temos:
Para nós temos:
De forma que nossa expressão anterior se resume a
Além disso, vimos que a derivada de em é
E as derivadas de e em são
De forma que a expressão de se resume a
Passo 3
Substituindo e na expressão do enunciado, temos:
E veja, por fim, que podemos usar a seguinte identidade na multiplicação
De forma que
Resposta
A expressão
É válida