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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 48

Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que

∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos diz que há uma função do tipo z = f ( x ,   y ) onde x = x ( s ,   t ) e y = y ( s ,   t ) e pede para que provemos o seguinte:

∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t

Certo, mas como fazemos isso sem nem ter a função z ?

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções múltiplas variáveis:

Para uma função no formato z ( x , y ) onde x = x ( s ,   t ) e y = y ( s ,   t ) , a derivada d z / d s pode ser definida como:

d z d s =   ∂ z ∂ x ⋅ d x d s + ∂ z ∂ y ⋅ d y d s

E a derivada d z / d t pode ser definida como:

d z d t =   ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

Nós não podemos calcular ∂ z ∂ x ou ∂ z ∂ y mas veja que esses termos aparecem nessas fórmulas! Então vamos substituir ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t na expressão da questão e ver o que podemos fazer!

Passo 2

Ok, vimos que a derivada de z em s é

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

Mas nós temos as expressões de x e y ! Então vamos calcular suas derivadas em s !

Para ∂ x / ∂ s nós temos:

x ( s ) = s + t

∂ x ∂ s = 1

Para ∂ y / ∂ s nós temos:

y ( s ) = s - t

∂ y ∂ s = 1

De forma que nossa expressão anterior se resume a

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y

Além disso, vimos que a derivada de z em t é

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

E as derivadas de x e y em t são

x ( t ) = s + t

∂ x ∂ t = 1

y t = s - t

∂ y ∂ t = - 1

De forma que a expressão de ∂ z / ∂ t se resume a

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x - ∂ z ∂ y

Passo 3

Substituindo ∂ y / ∂ s e ∂ z / ∂ t na expressão do enunciado, temos:

∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t

∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y ∂ z ∂ x - ∂ z ∂ y

E veja, por fim, que podemos usar a seguinte identidade na multiplicação

a + b a - b = a 2 - b ²

De forma que

∂ z ∂ s ∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2

Resposta

A expressão ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t

É válida

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .7. z = x^2 y^3 , x = s cos t , y = s sen t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t . z = e x + 2 y x = s t y = t s