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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 15

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ u   e   ∂ z ∂ v   , usando a regra da cadeia

z   = x 2 - y 2   ,   x = u - 3 v   ,   y = u + 2 v

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z u , v =   f x u , v , y u , v

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a u

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a v

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ x = 2 x

∂ f ∂ y = - 2 y

∂ y ∂ v = 2

∂ y ∂ u = 1

∂ x ∂ u = 1

∂ x ∂ v =   - 3

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ z ∂ u = 2 x 1 - 2 y ( 1 )

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

∂ z ∂ v =   2 x ( - 3 ) + - 2 y ( 2 )

Deixando tudo em função dos parâmetros u e v

∂ z ∂ u = 2 x 1 - 2 y 1 = - 10 v

∂ z ∂ v = 2 x - 3 + - 2 y 2 =   - 10 u + 10 v

Resposta

∂ z ∂ u = 2 x 1 - 2 y 1 = - 10 v

∂ z ∂ v = 2 x - 3 + - 2 y 2 =   - 10 u + 10 v

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