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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 21

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ x   e   ∂ z ∂ y   , usando a regra da cadeia

z   = v 2 + u 2   , u = x 2 - y 2   ,   v = e 2 x y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f u x , y , v x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ u = 2 u

∂ f ∂ v = 2 v

∂ u ∂ x = 2 x

∂ v ∂ x = 2 y e 2 x y

∂ u ∂ y = - 2 y

∂ v ∂ y =   2 x e 2 x y

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = ( 2 u ) ( 2 x ) + ( 2 v ) ( 2 y e 2 x y )

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

∂ z ∂ y =   ( 2 u ) ( - 2 y ) + ( 2 v ) ( 2 x e 2 x y )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x = ( 2 x 2 - 2 y 2 ) ( 2 x ) + ( 2 e 2 x y ) ( 2 y e 2 x y )

∂ z ∂ y =   ( 2 x 2 - 2 y 2 ) ( - 2 y ) + ( 2 e 2 x y ) ( 2 x e 2 x y )

Resposta

∂ z ∂ x = 2 x 2 - 2 y 2 2 x + 2 e 2 x y 2 y e 2 x y

∂ z ∂ y =   ( 2 x 2 - 2 y 2 ) ( - 2 y ) + ( 2 e 2 x y ) ( 2 x e 2 x y )

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