Determinar as derivadas parciais ∂z / ∂x e ∂z / ∂y , usando a regra da cadeia

z = v^2 + u^2, u = x^2 - y^2, v = e^(2xy)

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f u x , y , v x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ u = 2 u

∂ f ∂ v = 2 v

∂ u ∂ x = 2 x

∂ v ∂ x = 2 y e 2 x y

∂ u ∂ y = - 2 y

∂ v ∂ y =   2 x e 2 x y

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = ( 2 u ) ( 2 x ) + ( 2 v ) ( 2 y e 2 x y )

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

∂ z ∂ y =   ( 2 u ) ( - 2 y ) + ( 2 v ) ( 2 x e 2 x y )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x = ( 2 x 2 - 2 y 2 ) ( 2 x ) + ( 2 e 2 x y ) ( 2 y e 2 x y )

∂ z ∂ y =   ( 2 x 2 - 2 y 2 ) ( - 2 y ) + ( 2 e 2 x y ) ( 2 x e 2 x y )

Resposta

∂ z ∂ x = 2 x 2 - 2 y 2 2 x + 2 e 2 x y 2 y e 2 x y

∂ z ∂ y =   ( 2 x 2 - 2 y 2 ) ( - 2 y ) + ( 2 e 2 x y ) ( 2 x e 2 x y )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Função com sela na origem Se você fez o Exercício 60 d a Seção 14.2 , sabe que a função f ( x , y ) = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 , ( x , y ) = ( 0,0 ) (veja a figura a seguir) é c
Encontrando funções a partir de derivadas parciais Suponha que f e g sejam funções de x e y , tais que∂f/∂y = ∂g/∂x e ∂f/∂x = ∂g/∂y, e suponha que∂f/∂x = 0, f(1,2) = g(1,2) = 5 e f(0,0) = 4. Encontre
Perfurando o solo Em uma superficie plana de terra, geólogos fizeram um furo diretamente para baixo e atingiram um depósito mineral a 1.000 pés. Eles fizeram um segundo furo 100 pés ao norte do primei
Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂yƒ(x, y) = (2x - 3y)^3ƒ
Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂yƒ(x, y) = raiz(x^2 + y^2)ƒ