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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 16

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ u   e   ∂ z ∂ v   , usando a regra da cadeia

z   = e x y   ,   x = u c o s v   ,   y = u s e n v

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z u , v =   f x u , v , y u , v

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a u

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a v

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ x = e x y y

∂ f ∂ y = e x y * - x y 2  

∂ y ∂ v = u c o s v

∂ y ∂ u = s e n v

∂ x ∂ u = c o s v

∂ x ∂ v =   - u s e n v

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ z ∂ u = e x y y ( c o s v ) + e x y * - x y 2 ( s e n v )

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

∂ z ∂ v =   e x y y ( - u s e n v ) + e x y * - x y 2 ( u c o s v )

Deixando tudo em função dos parâmetros u e v

∂ z ∂ u = e u c o s v u s e n v u s e n v c o s v + e u c o s v u s e n v u c o s v s e n v = - e c o t g v s e n 2 v

∂ z ∂ v =   e u c o s v u s e n v u s e n v - u s e n v + e u c o s v u s e n v u c o s v u c o s v = 0

Resposta

∂ z ∂ u = - e c o t g v s e n 2 v

∂ z ∂ v = 0

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