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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 11a

Verificar a regra da cadeia para a função

z = u^2 - v^2 , u = x + 1 , v = x y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z (x , y) = f (u (x , y) , v (x , y))

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

(del z)/(del x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

(del z)/(del y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) + (del f)/(del v) (del v)/(del y)

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

(del f)/(del u) = 2 u

(del f)/(del v) = - 2 v

(del u)/(del x) = 1

(del v)/(del x) = y

(del u)/(del y) = 0

(del v)/(del y) = x

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

(del z)/(del x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

(del z)/(del x) = ( 2 u ) ( 1 ) + ( - 2 v ) ( y )

(del z)/(del y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) + (del f)/(del v) (del v)/(del y)

(del z)/(del y) = ( 2 u ) ( 0 ) + ( - 2 v ) ( x )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

(del z)/(del x) = 2 x + 2 + - 2 x y^2

(del z)/(del y) = - 2 x^2 y

Resposta

(del z)/(del x) = 2 x + 2 + - 2 x y^2

(del z)/(del y) = - 2 x^2 y

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