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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 8

Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ ( x , y ) = (x^3 + (y)/(2))^((2)/(3))

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

(del f)/(del x) = (del)/(del x) ((x^3 + (y)/(2))^((2)/(3)))

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = x^3 + (y)/(2)

= (del)/(del u) (u^(2 // 3)) * (del)/(del x) (x^3 + (y)/(2))

= (2)/(3) u^(- 1 // 3) * 3 x^2

= 2 (x^3 + (y)/(2))^(- (1)/(3)) * x^2

(del f)/(del x) = (2 x^2)/((x^3 + (y)/(2))^((1)/(3)))

Passo 2

Agora em y,

(del f)/(del y) = (del)/(del y) ((x^3 + (y)/(2))^((2)/(3)))

Vamos aplicar a regra da cadeia, em que u = x^3 + (y)/(2)

= (del)/(del u) (u^(2 // 3)) * (del)/(del y) (x^3 + (y)/(2))

= (2)/(3) u^(- 1 // 3) * (1)/(2)

= (1)/(3) (x^3 + (y)/(2))^(- 1 // 3)

(del f)/(del y) = (1)/(3 (x^3 + (y)/(2))^((2)/(3)))

Bora pro próximo.

Resposta

(del f)/(del x) = (2 x^2)/((x^3 + (y)/(2))^((1)/(3))) e (del f)/(del y) = (1)/(3 (x^3 + (y)/(2))^((2)/(3))) .

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Seja f : A ⊂ R 2 →R , A aberto, e suponha que f admite derivadas parciais em A . Seja x 0 ,y 0 ∈ A . Prove que se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y forem contínuas em x 0 ,y 0 , então f também será.
1. Determine as derivadas parciais c) z = (x^3 + y^2)/(x^2 + y^2)
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1. Determine as derivadas parciais g) f (x , y) = (4 x y - 3 y^3)^3 + 5 x^2 y
2. Considere a função z = (x y^2)/(x^2 + y^2) . Verifique que x (del z)/(del x) + y (del z)/(del y) = z .