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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 22

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ x   e   ∂ z ∂ y   , usando a regra da cadeia

z   = u v + u 2   , u = x y   ,   v = x 2 + y 2 + ln ⁡ x y

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f u x , y , v x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ u = v + 2 u

∂ f ∂ v = u

∂ u ∂ x = y

∂ v ∂ x = 2 x + y x y = 2 x + 1 x

∂ u ∂ y = x

∂ v ∂ y =   2 y + x y

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = ( v + 2 u ) ( y ) + u 2 x + y x

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

∂ z ∂ y =   ( v + 2 u ) ( x ) + u 2 y + x y

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x = ( x 2 + y 2 + ln ⁡ x y + 2 x y ) ( y ) + x y 2 x + y x

∂ z ∂ y =   ( x 2 + y 2 + ln ⁡ x y + 2 x y ) ( x ) + x y 2 y + x y

Resposta

∂ z ∂ x = ( x 2 + y 2 + ln ⁡ x y + 2 x y ) ( y ) + x y 2 x + y x

∂ z ∂ y =   ( x 2 + y 2 + ln ⁡ x y + 2 x y ) ( x ) + x y 2 y + x y

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