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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 13

Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ u   e   ∂ z ∂ v   , usando a regra da cadeia

z   = ln ⁡ ( x 2 + y 2 )   ,   x = c o s u c o s v   ,   y =   s e n u c o s v

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z u , v =   f x u , v , y u , v

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a u

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a v

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ x = 2 x x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2

∂ y ∂ v = - s e n u s e n v

∂ y ∂ u = c o s u c o s v

∂ x ∂ u = - s e n u c o s v

∂ x ∂ v =   - s e n v c o s u

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ u =   2 x x 2 + y 2 ( - s e n u c o s v ) + 2 y x 2 + y 2 ( c o s u c o s v )

∂ z ∂ v =   2 x x 2 + y 2 ( - s e n v c o s u ) + 2 y x 2 + y 2 ( - s e n u s e n v )

Deixando tudo em função dos parâmetros u e v

∂ z ∂ u =   2 c o s u c o s v x 2 + y 2 - s e n u c o s v + 2   s e n u c o s v x 2 + y 2 c o s u c o s v = 0

∂ z ∂ v = 2 c o s u c o s v - s e n v c o s u c o s u c o s v 2 + s e n u c o s v 2 + 2   s e n u c o s v ( - s e n u s e n v ) ( c o s u c o s v ) 2 + ( s e n u c o s v ) 2 =   - 2 t g v

Resposta

∂ z ∂ u = 0

∂ z ∂ v = - 2 t g v

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