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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 15

15. g (x , y) = a r c t g (y)/(x)

Passo 1

Vamos aplicar a regra da cadeia:

(del f (u))/(del x) = (del f)/(del u) * (del u)/(del x)

f = a r c t g (u) , u = (y)/(x)

(del)/(del u) (a r c t g (u)) = (1)/(u^2 + 1)

Passo 2

Fazendo em função de x :

(del)/(del x) ((y)/(x)) = - (y)/(x^2)

(1)/(u^2 + 1) * (- (y)/(x^2))

Voltando com u = (y)/(x)

(1)/(((y)/(x))^2 + 1) * (- (y)/(x^2)) =

= - (y)/(y^2 + x^2)

Passo 3

Fazendo em função de y :

(del)/(del y) ((y)/(x)) = (1)/(x)

(1)/(u^2 + 1) * ((1)/(x))

Voltando com u = (y)/(x)

(1)/(((y)/(x))^2 + 1) * ((1)/(x)) =

= (1)/((y^2 + x^2)/(x^2)) * ((1)/(x))

= (x)/(x^2 + y^2)

Resposta

(del g)/(del x) = - (y)/(y^2 + x^2)

(del g)/(del y) = (x)/(x^2 + y^2)

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