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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 63

A linearização de ƒ(x, y) é uma aproximação do plano tangente

Mostre que o plano tangente no ponto P0(x0, y0, ƒ(x0, y0)) na

superfície z = ƒ(x, y) definida por uma função diferenciável ƒ

é o plano

f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 - z - f x 0 , y 0 = 0

ou

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 .

Assim, o plano tangente em P 0 é o gráfico da linearização de f em P 0 (veja a figura a seguir).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício mostraremos que o plano tangente no ponto P 0 x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 sobre a superfície z = f ( x , y ) é definida por

f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 - z - f x 0 , y 0 = 0

Assim, o plano tangente em P 0 x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 é a linearização de f em P 0 .

Passo 2

Primeiramente reescreveremos a função z = f ( x , y ) da seguinte forma:

g ( x , y , z ) = f ( x , y ) - z = 0

Calcularemos agora as derivadas parciais dessa função:

g x ( x , y , z ) = f x ( x , y ) g y ( x , y , z ) = f y ( x , y ) g z ( x , y , z ) = - 1

Aplicando o ponto P 0 x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 nas derivadas parciais de g ( x , y , z ) teremos:

g x x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 g y x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 = f y x 0 , y 0 g z x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 = - 1

Resposta

Resposta: o plano tangente no ponto P 0 é então:

f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 - z - f x 0 , y 0 = 0

O u

z = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x 0 , y 0

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