A linearização de ƒ(x, y) é uma aproximação do plano tangenteMostre que o plano tangente no ponto P0(x0, y0, ƒ(x0, y0)) nasuperfície z = ƒ(x, y) definida por uma função diferenciável ƒé o plano f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 - z - f x 0 , y 0 = 0 ou z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 . Assim, o plano tangente em P 0 é o gráfico da linearização de f em P 0 (veja a figura a seguir).

Resposta: o plano tangente no ponto P 0 é então: f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 - z - f x 0 , y 0 = 0 O u z = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x 0 , y 0

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 63

A linearização de ƒ(x, y) é uma aproximação do plano tangente

Mostre que o plano tangente no ponto P0(x0, y0, ƒ(x0, y0)) na

superfície z = ƒ(x, y) definida por uma função diferenciável ƒ

é o plano

ou

Assim, o plano tangente em é o gráfico da linearização de em (veja a figura a seguir).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício mostraremos que o plano tangente no ponto sobre a superfície é definida por

Assim, o plano tangente em é a linearização de em .

Passo 2

Primeiramente reescreveremos a função da seguinte forma:

Calcularemos agora as derivadas parciais dessa função:

Aplicando o ponto nas derivadas parciais de teremos:

Resposta

Resposta: o plano tangente no ponto é então:

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 6 , encontre as derivadas parciais indicadas. f x ,y = 3 x y + 6 x - y 2, ∂ f ∂ x x ,y

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsaSe f tem derivadas parciais de todas as ord

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsaSe F = P i ^ + Q j ^ e P y = Q x em uma reg

A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 2 ,1 (a