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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 52b

Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:

b) f x ,   y = x y ; P 1 0 ,   0 ,   0   e   P 2 ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 1

As derivadas parciais de f em relação a x e y são:

∂ f ∂ x = y

∂ f ∂ y = x

Assim, no ponto P 1 0 ,   0 ,   0 :

∂ f ∂ x 0 ,   0 = 0   e   ∂ f ∂ y 0 ,   0 = 0

O Plano tangente no ponto P 1 ( 0 ,   0 ,   0 ) é:

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = 0 + 0 ⋅ x - 0 + 0 ⋅ ( y - 0 )

z = 0

Passo 2

No ponto P 2 1 ,   1 ,   1 :

∂ f ∂ x 1 ,   1 = 1

∂ f ∂ y 1 ,   1 = 1

O Plano tangente no ponto P 2 1 ,   1 ,   1 é:

z = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 ,   y 0 ) ( y - y 0 )

z = 1 + 1 ⋅ x - 1 + 1 ⋅ ( y - 1 )

x + y - z = 1

Resposta

z = 0 ;   x + y - z = 1 .

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