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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 1a

Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2 , de f em volta de x 0 dado.

f x = ln ⁡ 1 + x e x 0 = 0

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 2 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada segunda de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = ln ⁡ 1 + x → f 0 = ln ⁡ 1 + 0 = 0

f ' x = f ' ln ⁡ 1 + x = 1 1 + x → f ' 0 = 1 1 + 0 = 1

f ' ' x = f ' ' 1 1 + x = - 1 1 + x 2 → f ' ' 0 = - 1 1 + 0 2 = - 1

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 = 0 + 1 x - 0 + - 1 2 x - 0 2 = x - x 2 2

Resposta

P x = x - x 2 2

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Mostre que para todo x , cos ⁡ x = lim n → ∞ ⁡ 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . .. + - 1 n x 2 n 2 n ! Ou cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . ..
Mostre que, para todo x - 1 , ln ⁡ x + 1 = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 nx n + 1 n + 1 + ∫ 0 x E t d t
∫ 0 1 e - x 2d x
Verifique que 1 - t + t 2 - t 3 + … + - 1 nt n é o polinômio de Taylor, de ordem n , de 1 1 + t em volta de 0 .
Mostre que a função E ( t ) dada por: 1 1 + t = 1 - t + t 2 - t 3 + … + - 1 nt n + E ( t ) É contínua em ]- 1 , + ∞[