Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2 , de f em volta de x₀ dado.

f(x) = ln(1 + x) e x_0 = 0

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 2 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada segunda de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = ln ⁡ 1 + x → f 0 = ln ⁡ 1 + 0 = 0

f ' x = f ' ln ⁡ 1 + x = 1 1 + x → f ' 0 = 1 1 + 0 = 1

f ' ' x = f ' ' 1 1 + x = - 1 1 + x 2 → f ' ' 0 = - 1 1 + 0 2 = - 1

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 = 0 + 1 x - 0 + - 1 2 x - 0 2 = x - x 2 2

Resposta

P x = x - x 2 2

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