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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 9j

Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos da seguinte função, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

h x = x + 1 x 2 - 2 x + 2

Passo 1

Para calcular os valores máximos e mínimos de uma função de forma simplificada primeiro precisamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Assim, derivando h ( x ) pela Regra do Quociente e simplificando, temos que:

h ' x = ( 1 ) x 2 - 2 x + 2 - 2 x - 2 x + 1 x 2 - 2 x + 2 2 = x 2 - 2 x + 2 - 2 x 2 + 2 x - 2 x + 2 x 2 - 2 x + 2 2 =

=   - x 2 - 2 x + 4 x 2 - 2 x + 2 2

Lembre-se que a Regra do Quociente é dada por: derivada do primeiro(numerador) vezes o segundo (denominador) menos a derivada do segundo(denominador) vezes o primeiro(numerador), tudo isso dividido pela segundo(denominador) ao quadrado.

Passo 2

Igualando o resultado de h ' ( x ) a zero, temos:

h ' x = 0 ⇒ - x 2 - 2 x + 4 x 2 - 2 x + 2 2 = 0 ⇒ - x 2 - 2 x + 4 = 0 ⇒ x 2 + 2 x - 4 = 0

Passo 3

A fim de isolar x podemos aplicar Bhaskara por ser uma equação do segundo grau.

Δ = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 - 4 = 20

x =   - b ± Δ 2 a

x ' =   - 2 + 20 2 = - 2 + 2 5 2 = - 1 + 5

E

x ' ' = - 2 - 20 2 = - 2 - 2 5 2 = - 1 - 5

Portanto, - 1 + 5     e   - 1 - 5 são pontos críticos da função h ( x ) .

Passo 4

Analisando o gráfico da função h ( x ) , temos que:

Logo, como pelo teste da primeira derivada h ' x > 0   e visualizando o gráfico, temos que - 1 + 5 é um ponto de máximo e - 1 - 5 é um ponto de mínimo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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