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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 34

Variação de temperatura ao longo de uma circunferência Existe uma direção u na qual a taxa de variação da função de temperatura T(x, y, z) = 2xy – yz (temperatura em graus Celsius, distância em pés) em P(1, –1, 1) é –3ºC/pés? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Isso não é nada mais nem nada menos, do que achar uma direção para um vetor u , pois a temperatura funciona como um gradiente. Dessa forma, para encontrarmos a direção do vetor u , precisamos primeiro achar o gradiente da função. Ou seja, temos que achar o vetor gradiente. Ele é dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z

Dessa forma, para a nossa função, temos:

∇ f = 2 y i + 2 x - z j - y k

Shoooow. Agora é aplicar ao ponto T = 1 , - 1,1

Para isso, substituiremos na nossa função gradiente. Ou seja:

∇ f P 0 = - 2 i + j + k

Perfeito.

Passo 2

Agora vamos achar o valor integral em graus celsius, aplicando ao módulo da temperatura:

T = ∇ f P 0

T = - 2 i + j + k = 6

Ou seja a real taxa é igual a raiz de 6, e não - 3 . Logo, não existe!

E é isso my good green fellas, até a próximas xuxuzinhos

Resposta

T = - 2 i + j + k = 6

Ou seja a real taxa é igual a raiz de 6, e não - 3 . Logo, não existe!

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a ) Determine o gradiente de f b ) Calcule o gradiente no ponto P c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u . f x , y , z = x + y z P 1,3 , 1 u = 2 7 , 3 7, 6 7
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. g x ,y = x y 2 , 2 ,- 1
Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado.f (x , y , z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(- 1 // 2) + ln (x y z) , (- 1 , 2 , - 2)
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. f x ,y = tg - 1 ⁡ x y , 4 ,- 2
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto. f x ,y = 2 x + 3 y , - 1 ,2