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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 23

Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.

g x , y , z = ln ⁡ x y + ln ⁡ y z + ln ⁡ x z ,     P 0 ( 1,1 , 1 )

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! A primeira coisa que temos que achar, é a direção nas quais as funções aumentam e diminuem em relação a um P 0 1,1 , 1 Para isso, temos que achar o vetor gradiente. Ele é dado por:

∇ f = δ f δ x i + δ f δ y j + δ f δ z j

Dessa forma, para a nossa função, temos:

∇ f = 1 x + 1 x i + 1 y + 1 y j + 1 z + 1 z k

Shoooow. Agora é aplicar ao ponto P 0 ( 1 , ln ⁡ 2 , 1 / 2 ) ) . Para isso, substituiremos na nossa função gradiente. Ou seja:

∇ f P 0 = i + j + k

E como levamos isso para achar a forma em que eles aumentam ou diminuem? Acharemos a direção das derivadas do nosso vetor, dado por u . Dessa forma:

u = ∇ f ∇ f

Aplicando:

u = i + j + k 1 2 + 1 2 + 1 2

Ou seja:

u = i 3 + j 3 + k 3

Passo 2

Agora temos a interpretação disso.

u = i 3 + j 3 + k 3

Isso significa que a nossa função f cresce mais rapidamente na direção de + u , ou seja, o próprio:

+ u = i 3 + j 3 + k 3

Isso também significa que a nossa função f diminui mais rapidamente na direção de - u , ou seja:

- u = - i 3 - j 3 - k 3

Que beleza, meus camaradas! Agora acharemos a derivada da função nessa direção! Temos:

D u f P 0 = ∇ f ⋅ u = ∇ f

∇ f = 3

D u f P 0 = 3

E analogamente,

D - u f P 0 = - 3

E é isso my good green fellas, até a próximas xuxuzinhos

Resposta

+ u = i 3 + j 3 + k 3

- u = - i 3 - j 3 - k 3

D u f P 0 = 3

D - u f P 0 = - 3

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Esboce o vetor gradiente ∇ f 4,6 para a função f para qual as curvas de nível são mostradas abaixo. Explique como você escolheu a direção e o sentido desse vetor.
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(a) Determine o gradiente de f .(b) Calcule o gradiente no ponto P .(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u . f x , y = y ln ⁡ x P 1 ,- 3 u = - 4 5 , 3 5