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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 44

Nos exercícios 42   a   47 , determinar as derivadas parciais indicadas

z = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) , ∂ 3 z ∂ x ∂ y 2

Passo 1

Galerinha, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a y , é dada por:

∂ z ∂ y = 1 x 2 + y 2 ( 2 y )

∂ z ∂ y = 2 y x 2 + y 2

Se derivarmos mais uma vez em relação a y , temos:

∂ 2 z ∂ y 2 = 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Agora, para finalizar, vamos calcular a derivada em relação a x !

∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 = x 2 + y 2 2 4 x - 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 x x 2 + y 2 2

∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 = - 4 x 3 + 12 x y 2 x 2 + y 2 3

Resposta

A derivada é igual a:

∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 = - 4 x 3 + 12 x y 2 x 2 + y 2 3

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Seja f (x , y) = (1)/(x^2 + y^2) . Verifique que a) x (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + y (del^2 f)/(del y del x) (x , y) = - 3 (del f)/(del x) (x , y) b) (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + (del^2 f)/(del y^2)
Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem:a) f x , y = x 3 y 2 b) z = e x 2 - y 2 c) z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 d) g x , y = 4 x 3 y 4 + y 3
13. Seja z = f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A e seja x 0 , y 0 ∈ A . Suponha que f x 0 , y 0 ≥ f ( x , y ) para todo x , y ∈A . Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 ≤ 0 e ∂ 2 f ∂ y x 0 , y 0 ≤ 0 .Inte
9. Seja u (x , t) = A s e n (a lambda t + phi) s e n lambda x , com A , a , lambda e phi constantes. Verifique que(del^2 u)/(del t^2) = a^2 (del^2 u)/(del x^2) .
11. Sejam x = x ( u , v ) e y = y u , v duas funções que admitem derivadas parciais num mesmo aberto A . Suponha que (1,1) ∈ e que x 1,10 . Suponha, ainda, que para todo ( u , v ) ∈ A x 3 + y 3 = u -