Nos exercícios 42 a 47 , determinar as derivadas parciais indicadas

z = ln(x^2 + y^2), ∂^3z / ∂x ∂y^2

Passo 1

Galerinha, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a y , é dada por:

∂ z ∂ y = 1 x 2 + y 2 ( 2 y )

∂ z ∂ y = 2 y x 2 + y 2

Se derivarmos mais uma vez em relação a y , temos:

∂ 2 z ∂ y 2 = 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Agora, para finalizar, vamos calcular a derivada em relação a x !

∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 = x 2 + y 2 2 4 x - 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 x x 2 + y 2 2

∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 = - 4 x 3 + 12 x y 2 x 2 + y 2 3

Resposta

A derivada é igual a:

∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 = - 4 x 3 + 12 x y 2 x 2 + y 2 3

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