Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 48b

Verificar o teorema de Schawartz para as funções:

b) z = x e x + y 2

Passo 1

Galerinha, o teorema de Schawartz nos diz que as derivadas parciais de 2 ª ordem de uma função z = f ( x , y ) , são iguais. Ou seja

∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x 0 , y 0 )

Assim, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ z ∂ x = e x + y 2 + x 1 e x + y 2

∂ z ∂ x = e x + y 2 ( x + 1 )

Derivando em relação a y , temos:

∂ 2 z ∂ y ∂ x = e x + y 2 x + 1 2 y

∂ 2 z ∂ y ∂ x = e x + y 2 ( 2 x y + 2 y )

Passo 2

Agora, vamos derivar z em relação a y :

∂ z ∂ y = x e x + y 2 2 y

∂ z ∂ y = 2 x y e x + y 2

Derivando ∂ z ∂ y em relação em x , temos:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = 2 y e x + y 2 + 2 x y e x + y 2

∂ 2 z ∂ x ∂ y = e x + y 2 ( 2 x y + 2 y )

Como ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x , o teorema foi verificado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Seja u = f x - a t + g ( x + a t ) , onde f e g são duas funções quaiquer de uma variável real ederiváveis até a 2ª ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .
12. Seja z = x y e^((x)/(y)) . Verifique quex (del^3 z)/(del x^3) + y (del^3 z)/(del y del x^2) = 0 .
8. Seja f (x , y) = {[[(x y (x^2 - y^2))/(x^2 + y^2) s e (x , y) != (0,0)],[0 s e (x , y) = (0,0)]]) . Calcule (del^2 f)/(del x del y) (0,0) e (del^2 f)/(del y del x) (0,0) .
15. Seja z = f x , y ,x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ f ∂ y∂ x são contínuas em A. Seja ( x 0 , y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja
14. Seja z = int_1^(x^2 - y^2) [ int_0^u s e n t^2 d t ] d u . Calculea) (del^2 z)/(del x del y) b)(del^2 z)/(del x^2)