Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 48b
Verificar o teorema de Schawartz para as funções:
b)
Passo 1
Galerinha, o teorema de Schawartz nos diz que as derivadas parciais de ordem de uma função , são iguais. Ou seja
Assim, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a , é dada por:
Derivando em relação a , temos:
Passo 2
Agora, vamos derivar em relação a :
Derivando em relação em , temos:
Como , o teorema foi verificado!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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10. Seja u = f x - a t + g ( x + a t ) , onde f e g são duas funções quaiquer de uma variável real ederiváveis até a 2ª ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .
12. Seja z = x y e x y . Verifique que x ∂ 3 z ∂ x 3 + y ∂ 3 z ∂ y∂ x 2 = 0 .
8. Seja f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2s ex , y ≠ 0,0 0s ex , y = 0,0 . Calcule ∂ 2 f ∂ x∂ y 0,0 e ∂ 2 f ∂ y∂ x 0,0 .
15. Seja z = f x , y ,x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ f ∂ y∂ x são contínuas em A. Seja ( x 0 , y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja
14. Seja z = ∫ 1 x 2 - y 2 [ ∫ 0 u s e nt 2 d t ]d u . Calculea) ∂ 2 z ∂ x∂ y b) ∂ 2 z ∂ x 2