Verificar o teorema de Schawartz para as funções:

b) z = x * e^(x + y^2)

Passo 1

Galerinha, o teorema de Schawartz nos diz que as derivadas parciais de 2 ª ordem de uma função z = f ( x , y ) , são iguais. Ou seja

∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x 0 , y 0 )

Assim, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ z ∂ x = e x + y 2 + x 1 e x + y 2

∂ z ∂ x = e x + y 2 ( x + 1 )

Derivando em relação a y , temos:

∂ 2 z ∂ y ∂ x = e x + y 2 x + 1 2 y

∂ 2 z ∂ y ∂ x = e x + y 2 ( 2 x y + 2 y )

Passo 2

Agora, vamos derivar z em relação a y :

∂ z ∂ y = x e x + y 2 2 y

∂ z ∂ y = 2 x y e x + y 2

Derivando ∂ z ∂ y em relação em x , temos:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = 2 y e x + y 2 + 2 x y e x + y 2

∂ 2 z ∂ x ∂ y = e x + y 2 ( 2 x y + 2 y )

Como ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x , o teorema foi verificado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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