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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 64

Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

f x , y = s e n   ( 2 x + 5 y ) ,             f y x y

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

O problema pede para encontrarmos a derivada parcial f y x y de terceira ordem da função f !

Para encontrar uma derivada de terceira ordem nós precisamos derivar 3 vezes na ordem indicada (lembrando: em derivadas parciais nós tratamos as variáveis que não estão envolvidas na derivação como constante).

Dessa forma, para encontrar f y x y , nosso cronograma será o seguinte:

∂ f ∂ y →   ∂ ² f ∂ x ∂ y →   ∂ ³ f ∂ y ∂ x ∂ y

Passo 2

Para encontrar f y x y precisamos encontrar primeiramente f y !

Para encontrar f y nós tratamos x como constante e derivamos a função em y !

Dessa forma, temos

f y = s e n   ( 2 x + 5 y )

∂ f ∂ y = d   s e n   ( 2 x + 5 y ) d t

Que pode ser resolvida facilmente com a regra da cadeia!

Relembrando: A regra da cadeia diz que para uma função

f g ( x )

A sua derivada é dada por

d f d x = d f ( u ) d u ⋅ d u d x

De forma que

∂ f ∂ y = d s e n   ( u ) d u ⋅ d ( 2 x + 5 y ) d y

f y = 5 cos ⁡ ( 2 x + 5 y )

Passo 3

Agora vamos derivar f y em x tornando y constante. Dessa forma, temos o seguinte

f y ( x ) = 5 cos ⁡ ( 2 x + 5 y )

∂ ² f ∂ x ∂ y = ∂   5 cos ⁡ ( 2 x + 5 y ) ∂ x

E, utilizando a regra da cadeia novamente, encontramos

f y x = - 10   s e n   ( 2 x + 5 y )

Por fim, vamos derivar f y x com relação a y , de forma que teremos

f y x ( y ) = - 10   s e n   ( 2 x + 5 y )

∂ ³ f ∂ y ∂ x ∂ y = - d   10   s e n   ( 2 x + 5 y ) d y

f y x y = - 50 cos ⁡ ( 2 x + 5 y )

Resposta

f y x y = - 50 cos ⁡ ( 2 x + 5 y )

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