Enunciado

Determine a área da região limitada pelas curvas:

a   2 y = 16 - x 2 e x + 2 y + 4 = 0 .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Sabemos que a integral dupla representa geometricamente o volume de uma região no espaço. Então, como a área possui uma dimensão a menos que o volume, ela pode ser representada por uma única integral simples:

A = ∫ a b f x d x

Assim, com as curvas dadas no enunciado, podemos determinar os limites de integração e a função de x que representa a região.

Passo 2

Dessa forma, a primeira coisa a se fazer é o esboço da nossa região que é dada por:

Podemos perceber que ela possui uma mudança de forma no eixo x (uma parábola acima e aproximadamente um triângulo abaixo do eixo). Então, iremos separá-la em duas regiões diferentes, sendo que a área de cada uma será representa por integrais diferentes.

O próximo passo é definir a função f x de cada curva. Então, dizendo que a região acima do eixo x é a região 1 , a sua curva é dada por:

2 y = 16 - x 2 → y = 8 - x 2 2

Já a curva da região 2 (região de baixo) é dada por:

x + 2 y + 4 = 0 → y = - x 2 - 2

Passo 3

Para determinarmos o intervalo de integração podemos utilizar as equações das curvas de cada região e igualar ambas:

8 - x 2 2 = - x 2 - 2

Tal que, passando todos os termos para um lado da equação apenas:

x 2 2 - x 2 - 10 = 0

Multiplicando tudo por 2 :

x 2 - x - 20 = 0

Essa equação e segundo grau nos dá as raízes de x que, no nosso caso, são os limites de integração. Então, através da fórmula de Bhaskara:

x = 1 ± 1 - - 80 2 = 1 ± 9 2

Logo:

x 1 = 5   e   x 2 = - 4 ∴ - 4 ≤ x ≤ 5

Passo 4

Portanto, podemos agora calcular a integral da região de cima que será dada por:

A R 1 = ∫ - 4 5 8 - x 2 2 d x

Então, resolvendo-a:

A R 1 = 8 x - x 3 6 |   5 - 4

E substituindo os intervalos de integração:

A R 1 = 40 - 125 6 - - 32 + 64 6 = 40 + 32 - 125 6 - 64 6

Logo:

A R 1 = 72 - 189 6

Passo 5

Já para a região de baixo, sua área será dada por:

A R 2 = - ∫ - 4 5 - x 2 - 2 d x = ∫ - 4 5 x 2 + 2 d x

Percebeu que o sinal da curva não é o mesmo? Isso se dá porque a integral representa a área abaixo de uma curva. Como no nosso caso queremos a área acima dela, precisamos inverter o sinal da função.

Então, resolvendo-a:

A R 2 = x 2 4 + 2 x |   5 - 4

E substituindo os intervalos de integração:

A R 2 = 25 4 + 10 - 16 4 - 8 = 10 + 8 - 4 + 25 4

Logo:

A R 2 = 14 + 25 4

Passo 6

Por fim, sabemos que a nossa região é dada pela interseção dessas duas regiões que consideramos. Então, a área total é a soma das áreas de cada região, ou seja:

A = A R 1 + A R 2

Portanto:

A = 72 - 189 6 + 14 + 25 4

Encontrando o MMC:

A = 72 12 - 189 2 + 14 12 + 25 3 12

∴ A = 729 12 = 243 4

Resposta

A = 243 4

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