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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 4c

Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também os ponrots em que esses valores são atingidos

f x , y = x y   e   A = { ( x , y ) ∈ I R 2 | x ≥ 0   e   y ≥ 0 }

Passo 1

Verificar os pontos críticos dentro da região:

f x , y = x y

∇ f x x , y = y

∇ f y x , y = x

∇ f x , y = ( y , x )

Passo 2

Igualar os pontos críticos a zero:

∇ f x , y = ( y , x )

∇ f x x , y = y = 0

y = 0

∇ f y x , y = x = 0

x = 0

Passo 3

Se houver pontos de máximos e mínimos globais, ele ocorrerá no ponto

f 0 , 0 = 0

Porém se pegarmos um ponto qualquer da forma ( x , y ) por exemplo ( 1,1 ) a função assume valores positivos: f ( 1,1 ) = 1 . Logo, o nosso f ( 0,0 ) não pode ser ponto de máximo global, pois f 0,0 < f 1,1 .

Porém, como o domínio da função é A = { ( x , y ) ∈ I R 2 | x ≥ 0   e   y ≥ 0 }

f 0,0 = 0 é mínimo global dessa função, pois não são admitidos valores menores que zero.

Resposta

A função não possui ponto de máximo e tem como mínimo f 0,0 = 0 atingido nos pontos x , 0 = 0   , x ≥ 0   o u   0 , y = 0   y ≥ 0

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