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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 2d

Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.

f x , y = e 1 x 2 + y 2 - 1 s e   x 2 + y 2 < 1 0 s e   x 2 + y 2 ≥ 1

Passo 1

Tirando as bordas do círculo x 2 + y 2 = 1 , a função é bem definida, então vamos trabalhar no limite de e 1 x 2 + y 2 - 1 quando x 2 + y 2 → 1 , mais precisamente precisamos da parte interna desse limite, ou seja, x 2 + y 2 → 1 - , podemos usar coordenadas polares e calcular o seguinte limite

lim x 2 + y 2 → 1 - ⁡ e 1 x 2 + y 2 - 1 = lim r → 1 - ⁡ e 1 r 2 - 1

Quando r → 1 - , r < 1 resultando em r 2 < 1 e r 2 - 1 < 0 , ou seja, podemos dizer que o sinal do expoente vai ser negativo, e quando r → 1 - temos que r 2 - 1 → 0 e o expoente vai para o infinito com sinal negativo e podemos concluir que

lim r → 1 - ⁡ e 1 r 2 - 1 = 0

Como a função e definida como sendo 0 , no círculo

l i m x 2 + y 2 → 1 + f x , y = 0

E podemos afirmar que

l i m x 2 + y 2 → 1 f x , y = 0

E a função é continua em todo o R 2 e por consequência é diferenciável em todo esse conjunto.

Resposta

R 2

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