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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 11

Um ponto P descreve uma trajetória sobre o gráfico de f x , y = 4 x 2 + y 2 . Sabe-se que a reta tangente em cada ponto da trajetória forma com o plano x y ângulo máximo. Determine uma parametrização para a trajetória admitindo que ela passe pelo ponto ( 1,1 , 5 ) .

Passo 1

Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Primeiro, temos que sabe que o vetor gradiente mostra no plano x y a direção de maior crescimento da função. Caso você não saiba, vetor gradiente é um vetor formado pelas derivadas parcias de x   ( f ' x )   ,   d e   y ( f ' y ) e de z ( f ' z ) .

Passo 2

Portanto galera, sabemos que se a nossa função corresponde a f x , y = 4 x 2 + y 2 , para saber o vetor gradiente basta deriva-la! Logo, nosso gradiente é igual a:

f x , y = 4 x 2 + y 2

T = f ' x , y = ( 8 x   ,   2 y ,   0 z )

Passo 3

E esse gradiente no nosso ponto... ele é igual a quanto?

T = ( 8 x   ,   2 y ,   0 z )

P = ( 1,1 , 5 )

Logo,

T = ( 8,2 , 0 )

Agora temos só que parametrizar nossa reta!!

Passo 4

Sabemos que uma reta é composta por uma constante somada uma coisa que multiplica a variável que parametriza:

X = P + x , y , z t

Para o nosso caso:

X = 1,1 , 5 + 8,2 , 0 t

Assim:

x = 1 + 8 t y = 1 + 2 t e z = 5

Onde t é meu parâmetro!

Resposta

x = 1 + 8 t y = 1 + 2 t e z = 5

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