Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 11

Um ponto P descreve uma trajetória sobre o gráfico de . Sabe-se que a reta tangente em cada ponto da trajetória forma com o plano ângulo máximo. Determine uma parametrização para a trajetória admitindo que ela passe pelo ponto .

Passo 1

Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Primeiro, temos que sabe que o vetor gradiente mostra no plano a direção de maior crescimento da função. Caso você não saiba, vetor gradiente é um vetor formado pelas derivadas parcias de , e de .

Passo 2

Portanto galera, sabemos que se a nossa função corresponde a , para saber o vetor gradiente basta deriva-la! Logo, nosso gradiente é igual a:

Passo 3

E esse gradiente no nosso ponto... ele é igual a quanto?

Logo,

Agora temos só que parametrizar nossa reta!!

Passo 4

Sabemos que uma reta é composta por uma constante somada uma coisa que multiplica a variável que parametriza:

Para o nosso caso:

Assim:

Onde é meu parâmetro!

Resposta

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