Um ponto P descreve uma trajetória sobre o gráfico de f(x, y) = 4 * x^2 + y^2 . Sabe-se que a reta tangente em cada ponto da trajetória forma com o plano xy ângulo máximo. Determine uma parametrização para a trajetória admitindo que ela passe pelo ponto (1,1,5) .

Passo 1

Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Primeiro, temos que sabe que o vetor gradiente mostra no plano x y a direção de maior crescimento da função. Caso você não saiba, vetor gradiente é um vetor formado pelas derivadas parcias de x   ( f ' x )   ,   d e   y ( f ' y ) e de z ( f ' z ) .

Passo 2

Portanto galera, sabemos que se a nossa função corresponde a f x , y = 4 x 2 + y 2 , para saber o vetor gradiente basta deriva-la! Logo, nosso gradiente é igual a:

f x , y = 4 x 2 + y 2

T = f ' x , y = ( 8 x   ,   2 y ,   0 z )

Passo 3

E esse gradiente no nosso ponto... ele é igual a quanto?

T = ( 8 x   ,   2 y ,   0 z )

P = ( 1,1 , 5 )

Logo,

T = ( 8,2 , 0 )

Agora temos só que parametrizar nossa reta!!

Passo 4

Sabemos que uma reta é composta por uma constante somada uma coisa que multiplica a variável que parametriza:

X = P + x , y , z t

Para o nosso caso:

X = 1,1 , 5 + 8,2 , 0 t

Assim:

x = 1 + 8 t y = 1 + 2 t e z = 5

Onde t é meu parâmetro!

Resposta

x = 1 + 8 t y = 1 + 2 t e z = 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.f(p, q, r) = arctan(pqr), (1, 2, 1)
Um mapa topográfico de Blue River Pine Provincial Park em British Columbia é mostrado. Desenha as curvas da descida mais íngreme do ponto A (descendo até o Mud Lake) e do ponto B .
14.25. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.f(x, y, z) = ln(x * y^2 * z^3), (1, -2, -3)
14.24. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.f(x, y, z) = x^2 * y^3 * z^4, (1, 1, 1)
14.28. Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de f(x, y) = x^2 + sen(xy) no ponto (1,0) tem valor 1.