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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 19

Calcule ∇ f 1,1 2 sendo f x , y = a r c sin ⁡ y x 2 + y 2 4 .

Sugestão: Faça g r , θ = f x , y , com x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ e utilize o item c) do exercício anterior.

Passo 1

Sejamos sensatos! Vamo usar o resultado do item c) do exercício anterior, a saber

∇ f x , y 2 = ∂ g ∂ r r , θ 2 + 1 r 2 ∂ g ∂ θ r , θ 2

Agora é só aplicação de fórmula! Mas antes, devemos fazer a conversão de f x , y para g r , θ .

Passo 2

Tomando x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ e substituindo direto na equação da f , obtemos:

f x , y = g r , θ = a r c sin ⁡ r sin ⁡ θ r 2 4 = a r c sin ⁡ sin ⁡ θ 4 = θ 4

Simplificou demais! Show!

Passo 3

Agora, para calcular ∇ f 1,1 2 , devemos ter x = y = 1 . Para transformar em r e θ , devemos resolver o sisteminha:

1 = r cos ⁡ θ 1 = r sin ⁡ θ

A solução é facinha e resulta em:

r = 2 θ = π 4

No mais, obtemos:

∇ f 1,1 2 = θ 4 = π 4 4

Resposta

∇ f 1,1 2 = π 4 4

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