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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 18

Seja g r , θ = f x , y , com x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , onde f x , y , é suposta diferenciável num aberto de R 2 . Sejam u → = cos ⁡ θ i ^ + sin ⁡ θ j ^ e v → = - sin ⁡ θ i ^ + cos ⁡ θ j ^ . Mostre que

a) ∂ g ∂ r r , θ = ∂ f ∂ u → x , y e 1 r ∂ g ∂ θ r , θ = ∂ f ∂ v → x , y

b) ∇ f x , y = ∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v →

c) ∇ f x , y 2 = ∂ g ∂ r r , θ 2 + 1 r 2 ∂ g ∂ θ r , θ 2

Passo 1

Este problema requer bastante trabalho braçal!

Para começar a resolver, é útil invocarmos a definição de d f :

d f x , y = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y

Podemos deduzir todas as relações acima somente manipulando esta equação!

Passo 2

Bom, para achar ∂ g ∂ r r , θ na letra a), tomamos a equação para d f e dividimos por d r , obtendo

∂ f ∂ r = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ r

Mas, f x , y = g r , θ . Logo,

∂ g ∂ r r , θ = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ r

Também, temos

∂ x ∂ r = ∂ ∂ r r cos ⁡ θ = cos ⁡ θ

∂ y ∂ r = ∂ ∂ r r sin ⁡ θ = sin ⁡ θ

Logo,

∂ g ∂ r r , θ = ∂ f ∂ x cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y sin ⁡ θ

Agora, percebemos que cos ⁡ θ = u → i e sin ⁡ θ = u → j . Assim, nada nos impede de escrevermos:

∂ g ∂ r r , θ = ∂ f ∂ x u → i + ∂ f ∂ y u → j = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ⋅ u →

Ou seja,

∂ g ∂ r r , θ = ∇ f ⋅ u → = ∂ f ∂ u →

Passo 3

Agora, para achar 1 r ∂ g ∂ θ r , θ na letra a), tomamos a equação para d f e dividimos por d θ , obtendo

∂ f ∂ θ = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ θ

Mas, f x , y = g r , θ . Logo,

∂ g ∂ θ r , θ = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ θ

Também, temos

∂ x ∂ θ = ∂ ∂ θ r cos ⁡ θ = - r sin ⁡ θ

∂ y ∂ θ = ∂ ∂ θ r sin ⁡ θ = r cos ⁡ θ

Logo,

∂ g ∂ θ r , θ = - r ∂ f ∂ x sin ⁡ θ + r ∂ f ∂ y cos ⁡ θ

Agora, percebemos que - sin ⁡ θ = v → i e cos ⁡ θ = v → j . Assim, nada nos impede de escrevermos:

∂ g ∂ θ r , θ = r ∂ f ∂ x v i + r ∂ f ∂ y v → j = r ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ⋅ v →

Ou seja,

1 r ∂ g ∂ θ r , θ = ∇ f ⋅ v → = ∂ f ∂ v →

Passo 4

Para a letra b), a demonstração de que ∇ f x , y = ∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → é idêntica àquela feita na questão anterior. Talvez você queira rever esta dedução!

Passo 5

Para a letra c), sabendo que ∇ f x , y = ∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → , temos

∇ f x , y 2 = ∂ f ∂ u → x , y u → + ∂ f ∂ v → x , y v → 2 = ∂ g ∂ r r , θ u → + 1 r ∂ g ∂ θ r , θ v → 2

Desmembrando em componentes para calcular o módulo, obtemos

∇ f x , y 2 = ∂ g ∂ r r , θ u → i + 1 r ∂ g ∂ θ r , θ v → i 2 + ∂ g ∂ r r , θ u → j + 1 r ∂ g ∂ θ r , θ v → j 2

Daí,

∇ f x , y 2 = ∂ g ∂ r r , θ cos ⁡ θ - 1 r ∂ g ∂ θ r , θ sin ⁡ θ 2 + ∂ g ∂ r r , θ sin ⁡ θ + 1 r ∂ g ∂ θ r , θ cos ⁡ θ 2

Expandindo os quadrados e agrupando, chegamos a

∇ f x , y 2 = ∂ g ∂ r r , θ 2 + 1 r ∂ g ∂ θ r , θ 2

Como queríamos provar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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