Suponha diferenciável no aberto . Sejam as coordenadas do vetor em relação à base , onde e . Considere a função dada por . Mostre que
Passo 1
Bom, a questão disse que são as coordenadas do vetor com relação à base , onde e . Portanto,
Logo,
Para mostrar o que foi pedido, vamos calcular as derivadas direcionais de .
Passo 2
Note que
Fazendo o mesmo com relação a :
Agora vamos achar as derivadas parciais de e comparar os resultados...
Passo 3
Primeiro vamos derivar com relação a :
Mas como
Temos que
Assim,
Passo 4
Analogamente, derivando com relação a :
Mas agora,
Portanto
Resposta
Demonstração.
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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .f(x, y) = ln(x² + y²), (2, 1), v→ = (-1, 2) ²
Determine a derivada direcional de f ( x , y ) = x . y em P 2,8 na direção de Q 5,4 .
Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = xy + yz + zx em P(1, -1,3) na direção de Q(2,4,5) .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.g(r, s) = tan^(-1)(r * s); (1,2); v = 5i + 10j
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .f(x, y) = 1 + 2x * raiz(y), (3, 4), v = (4, -3)