Suponha diferenciável no aberto . Sejam as coordenadas do vetor em relação à base , onde e . Considere a função dada por . Mostre que
Passo 1
Bom, a questão disse que são as coordenadas do vetor com relação à base , onde e . Portanto,
Logo,
Para mostrar o que foi pedido, vamos calcular as derivadas direcionais de .
Passo 2
Note que
Fazendo o mesmo com relação a :
Agora vamos achar as derivadas parciais de e comparar os resultados...
Passo 3
Primeiro vamos derivar com relação a :
Mas como
Temos que
Assim,
Passo 4
Analogamente, derivando com relação a :
Mas agora,
Portanto
Resposta
Demonstração.