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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 20

Suponha f ( x , y ) diferenciável no aberto A . Sejam ( s , t ) as coordenadas do vetor ( x , y ) em relação à base ( u → ,   v → ) , onde u → = ( cos ⁡ α ,   s e n   α ) e v → = ( - s e n   α , cos ⁡ α ) . Considere a função g dada por g s , t = f ( x , y ) . Mostre que

∂ g ∂ s s , t = ∂ f ∂ u → x , y             e             ∂ g ∂ t s , t = ∂ f ∂ v → ( x , y )

Passo 1

Bom, a questão disse que ( s , t ) são as coordenadas do vetor ( x ,   y ) com relação à base ( u → ,   v → ) , onde u → = ( cos ⁡ α ,   s e n   α ) e v → = ( - s e n   α , cos ⁡ α ) . Portanto,

x , y = s   u → + t   v →

Logo,

x ,   y = s cos ⁡ α - t   s e n   α ,   s   s e n   α + t cos ⁡ α

Para mostrar o que foi pedido, vamos calcular as derivadas direcionais de f .

Passo 2

Note que

∂ f ∂ u → = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ⋅ cos ⁡ α ,   s e n   α = ∂ f ∂ x cos ⁡ α + ∂ f ∂ y   s e n   α

Fazendo o mesmo com relação a v → :

∂ f ∂ v → = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ⋅ - s e n   α ,   cos ⁡ α = - ∂ f ∂ x s e n   α + ∂ f ∂ y cos ⁡ α

Agora vamos achar as derivadas parciais de g e comparar os resultados...

Passo 3

Primeiro vamos derivar g com relação a s :

∂ g ∂ s = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ s

Mas como

x = s cos ⁡ α - t   s e n   α             e               y = s   s e n   α + t cos ⁡ α  

Temos que

∂ x ∂ s = cos ⁡ α                 e                 ∂ y ∂ s = s e n   α

Assim,

∂ g ∂ s = ∂ f ∂ x cos ⁡ α + ∂ f ∂ y   s e n   α = ∂ f ∂ u →

Passo 4

Analogamente, derivando com relação a t :

∂ g ∂ t = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Mas agora,

∂ x ∂ t = - s e n   α                 e                 ∂ y ∂ t = cos ⁡ α

Portanto

∂ g ∂ t = - ∂ f ∂ x s e n   α + ∂ f ∂ y cos ⁡ α = ∂ f ∂ v →

Resposta

Demonstração.

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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = 1 + 2 x y , 3 ,4 ,v → = ( 4 ,- 3 )