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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 23

Seja f ( x , y , z ) diferenciável num aberto do R 3 e sejam u → , v → e w →   vetores do R 3 , unitários e dois a dois ortogonais. Prove:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ u → x , y , z   u → + ∂ f ∂ v → x , y , z   v → + ∂ f ∂ w → x , y , z   w →

Passo 1

Essa é uma questão bem interessante que dá uma nova interpretação para o gradiente. Temos que os vetores u → , v → e w → são unitários e dois a dois ortogonais. Portanto, eles formam uma base ortonormal para R 3 .

Como esses vetores são unitários e f é diferenciável, temos que

∂ f ∂ u → x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ u →

∂ f ∂ v → x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ v →

∂ f ∂ w → x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ w →

Passo 2

Agora vamos ter que lembrar um pouco de vetores e geometria analítica. Seja F → um vetor qualquer em R 3 e seja B = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 uma base ortonormal para R 3 . Podemos escrever F → em termos de suas componentes na base B :

F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 B = F 1 e → 1 + F 2 e → 2 + F 3 e → 3

Como a base é ortonormal, podemos interpretar as componentes de F → como as projeções do vetor nos vetores da base:

F 1 = F → ⋅ e → 1

F 2 = F → ⋅ e → 2

F 3 = F → ⋅ e → 3

Sabendo disso, agora vamos voltar ao nosso problema: queremos escrever o vetor gradiente ∇ f em termos de suas componentes na base ortonormal { u → , v → , w → } . Assim,

∇ f 1 = ∇ f ⋅ e → 1 = ∇ f ⋅ u → = ∂ f ∂ u →

∇ f 2 = ∇ f ⋅ e → 2 = ∇ f ⋅ v → = ∂ f ∂ v →

∇ f 3 = ∇ f ⋅ e → 3 = ∇ f ⋅ w → = ∂ f ∂ w →

Passo 3

Assim, como

∇ f = ∇ f 1 u → + ∇ f 2 v → + ∇ f 3 w →

temos que

∇ f = ∂ f ∂ u → u → + ∂ f ∂ v → v → + ∂ f ∂ w → w →

Resposta

Demonstração.

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