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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 4

Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição.

4) z = x y

Passo 1

Repare que nossa função é representada em função de x e y. Logo precisamos realizar a derivação por ambos.

Por definição, temos que:

∂ f ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x , y - f ( x , y ) ∆ x

Passo 2

Vamos começar derivando em função de x :

∂ z ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x y - x y ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ x y + y ∆ x - x y ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ x y + y ∆ x - x y ∆ x x y + y ∆ x + x y

Nessa parte, jogamos ∆ x → 0 no denominador também. Por isso sumimos com o termo " y ∆ x " da raiz.

= y 2 x y

Passo 3

Agora vamos derivar em função de y:

∂ z ∂ y = lim ∆ y → 0 ⁡ f x , y + ∆ y - f ( x , y ) ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ x ( y + ∆ y ) - x y ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ x y + x ∆ y - x y ∆ y x y + x ∆ y + x y

= x 2 x y

Resposta

∂ z ∂ x = y 2 x y

∂ z ∂ y = x 2 x y

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