Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 4

Nos exercícios 1 a 5, calcular as derivadas parciais de 1º ordem usando a definição.

4) z = x y

Passo 1

Repare que nossa função é representada em função de x e y. Logo precisamos realizar a derivação por ambos.

Por definição, temos que:

∂ f ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x , y - f ( x , y ) ∆ x

Passo 2

Vamos começar derivando em função de x :

∂ z ∂ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x y - x y ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ x y + y ∆ x - x y ∆ x

= lim ∆ x → 0 ⁡ x y + y ∆ x - x y ∆ x x y + y ∆ x + x y

Nessa parte, jogamos ∆ x → 0 no denominador também. Por isso sumimos com o termo " y ∆ x " da raiz.

= y 2 x y

Passo 3

Agora vamos derivar em função de y:

∂ z ∂ y = lim ∆ y → 0 ⁡ f x , y + ∆ y - f ( x , y ) ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ x ( y + ∆ y ) - x y ∆ y

= lim ∆ y → 0 ⁡ x y + x ∆ y - x y ∆ y x y + x ∆ y + x y

= x 2 x y

Resposta

∂ z ∂ x = y 2 x y

∂ z ∂ y = x 2 x y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as derivadas parciais indicadas.42 – f x , y = a r c t g y x ;f x ( 2,3 )
Um mapa de contorno de uma função f é apresentado. Utilize-o para estimar f x 2,1 e f y 2,1 .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. f x , t =x ⋅ ln ⁡ t
95. Sejaf (x , y) = {[[(x^3 y - x y^3)/(x^2 + y^2),s,e,,(x , y),!=,(0,0)],[0,s,e,,(x , y),=,(0,0)]]) d) Mostre que f_x y (0,0) = - 1 e f_y x (0,0) = 1 .
Nos Exercícios 57-60, utilize a definição limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados