Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 44
Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!
Determinar derivadas parciais não é segredo, a gente fixa as variáveis que não estão envolvidas na derivação e finge que elas são valores constantes.
Ou seja: Para achar a derivada parcial em a gente trataria e como se fossem números quaisquer e derivar normal em relação a .
Nesse caso a questão vai além e pede pra encontramos uma derivada parcial em e num ponto específico, mas isso também não é problema: Quando tivermos a nossa derivada só precisamos substituir esse ponto!
Passo 2
Recapitulando, temos a função
E queremos no ponto
Inicialmente, para encontrar vamos seguir o processo padrão para encontrar uma derivada parcial: Derivar em relação a , fixando as variáveis e como valores constantes.
Dessa forma teríamos a seguinte função
Onde desejamos
Mas perceba que, mesmo depois de tornar as outras variáveis constantes, temos uma função dentro de outra. Para resolver essa derivada usaremos a regra da cadeia.
Recapitulando:
A regra da cadeia nos diz o seguinte:
Se temos uma função
Onde podemos chamar
A derivada dessa função vai ser dada por:
Então nesse caso:
E como e são valores constantes:
Mas perceba, mais uma vez, que na derivada
Será preciso usar novamente a regra da cadeia:
De forma que:
Passo 3
Já temos nossa derivada parcial em , só precisamos agora substituir o ponto e encontrar o resultado.
Sendo assim, temos: