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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 36

Determine as derivadas parciais indicadas.

36-

f x , y = s e n 2 x + 3 y ;           f y = ( - 6,4 )

Passo 1

Então, galera... Nessa questão nós temos a função

f x , y = sen ⁡ 2 x + 3 y

e queremos determinar a sua derivada parcial com relação a y , f y , no ponto - 6,4 , ou seja, devemos calcular

f y = ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y [ sen ⁡ ( 2 x + 3 y ) ]  

Para calcular a derivada parcial com relação a y de uma função f x , y , devemos manter a variável x constante e aplicar as regras de derivações que aprendemos para uma variável, como se estivéssemos derivando uma função que depende apenas de y .

Depois de calcular a derivada parcial pedida, vamos substituir as coordenadas do ponto - 6,4 ,   beleza?

Vamos aplicar isso à nossa questão!

Passo 2

Vamos lá... Derivando com relação a y :

f y = ∂ ∂ y [ sen ⁡ ( 2 x + 3 y ) ]  

Aqui vamos precisar da regra da cadeia, pois temos uma função dentro da função seno. Para relembrar: se temos uma função f ( u ) tal que u = u ( x ) , então a derivada de f com relação a x será

d f d x = d f d u ⋅ d u d x

Portanto, aplicando a regra da cadeia, temos

f y = cos ⁡ 2 x + 3 y ⋅ ∂ ∂ y 2 x + 3 y

Logo,

f y = 3 cos ⁡ ( 2 x + 3 y )

Passo 3

Agora que temos a derivada, podemos aplicar o ponto ( 3,4 ) em f y . Obtemos:

f y = 3 cos ⁡ 2 ⋅ - 6 + 3 ⋅ 4

f y = 3 cos ⁡ 0

f y = 3

Resposta

f y = 3

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