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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 25

Determine o diferencial da função.

u = e t s e n   θ

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

u = e t s e n   θ

Queremos determinar o diferencial dessa funçãozinha.

Pera... oi??

Bom... queremos descobrir o diferencial d u ... Mas perceba que temos duas variáveis:

t e θ

Assim, o nosso diferencial vai ser em função de d t e d θ .

Dessa forma, para podermos calcular isso, basta aplicarmos s derivadas parciais com relação a t e a θ da seguinte forma:

d u = ∂ u ∂ t d t + ∂ u ∂ θ   d θ

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos derivar com relação a t . Para isso, vamos fazer com que θ seja uma constante.

Sabendo disso, temos:

∂ u ∂ t = ∂ ∂ t e t s e n   θ

Colocando a constante para fora:

∂ u ∂ t = s e n   θ ∂ ∂ t e t

Sabemos que a derivada de uma exponencial é ela mesma, portanto:

∂ u ∂ t = e t   s e n   θ

Passo 3

Agora vamos derivar com relação a θ . Para isso, vamos fazer com que t seja uma constante.

Sabendo disso, temos:

∂ u ∂ θ = ∂ ∂ θ e t s e n   θ

Colocando a constante para fora:

∂ u ∂ θ = e t ∂ ∂ θ s e n   θ

Sabemos que a derivada do seno é o cosseno, portanto:

∂ u ∂ θ = e t cos ⁡ θ

Com isso, substituindo as derivadas na equação do Passo 1 , obtemos:

d u = ∂ u ∂ t d t + ∂ u ∂ θ   d θ ∴

d u = e t s e n   θ d t + e t cos ⁡ θ d θ

Resposta

d u = e t s e n   θ d t + e t cos ⁡ θ d θ

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