Determine as derivadas parciais indicadas.

f(x, y, z) = x / (y + z); f_z(3, 2, 1)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

O problema pede para encontrarmos a derivada parcial f z no ponto ( 3 ,   2 ,   1 ) !

Vai ser bem de boa: Para encontrar a derivada f z nós tratamos x e y como constantes e derivamos a função f em z normalmente! Depois é só substituir o ponto ( 3 ,   2 ,   1 ) e partir pra próxima!

Passo 2

Para encontrar f z tratamos x e y como constantes, de forma que:

f z = x y + z

∂ f ∂ z = x d ( y + z ) - 1 d z  

Que pode ser resolvida com a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

Onde, no nosso caso, temos

∂ f ∂ z = x d u - 1 d u ⋅ d ( y + z ) d z

∂ f ∂ z = - x ⋅ 1 u 2 ⋅ 1

f z = - x y + z 2

Passo 3

Aplicando o ponto ( 3,2 , 1 ) na derivada parcial temos:

f z ( 3 ,   2 ,   1 ) = - 3 2 + 1 2

f z ( 3 ,   2 ,   1 ) = - 1 3

Resposta

f z ( 3 ,   2 ,   1 ) = - 1 3

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