Seja ϕ : R → R uma função diferenciável de uma variável real e seja f x , y = x 2 + y 2 ϕ x y . Mostre que

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 f

Passo 1

Primeiro vamos calcular a derivada parcial em relação a x

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 ϕ x y

Pra isso temos que usar as regras do produto e da cadeia

∂ f ∂ x = 2 x   ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' 1 y

Onde pela regra da cadeia usamos que

∂ ϕ x y ∂ x = ∂ ϕ ∂ x y ∂ x y ∂ x = ∂ ϕ ∂ x y 1 y = ϕ ' y  

Ou seja, ϕ ' é a derivada parcial em relação ao argumento x y

Passo 2

Agora vamos calcular a derivada em relação a y

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 ϕ x y

Que é muito parecido com o que a gente fez no passo anterior, exceto que agora y está no denominador do argumento de ϕ .

∂ f ∂ y = 2 y ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ '   - x y 2

Onde a última parte do último termo apareceu de

∂ ∂ y x y = x ∂ 1 y ∂ y = x   - 1 y 2 = - x y 2

Passo 3

Agora vamos calcular

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y

E ver no que vai dar. Substituindo as derivadas que calculamos

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = x 2 x   ϕ + x 2 + y 2 ϕ ' 1 y + y 2 y ϕ + x 2 + y 2 ϕ '   - x y 2

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 x 2 ϕ + x 2 + y 2 ϕ ' x y + 2 y 2 ϕ - x 2 + y 2 ϕ ' x y  

O segundo e o quarto termos são iguais mas com sinais opostos, então eles se cancelam. Assim esse nosso negócio fica:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 x 2 ϕ + 2 y 2 ϕ = 2 x 2 + y 2 ϕ

Tá reconhecendo esse último termo? É exatamente a nossa função multiplicada por 2! :D

Finalmente mostramos que

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = 2 f

Show de bolinhas?? ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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