14. Seja , onde é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que
Passo 1
Queremos provar o seguinte:
A ideia será achar o lado esquerdo e ver que é igual a .
Vamos fazer a seguinte substituição:
Logo,
e
Então nossa função fica o seguinte:
Passo 2
Primeiro vamos encontrar ,
Mas sabemos o seguinte:
Do Passo 1:
Então nossa expressão fica:
Passo 3
Pra finalizar, vamos calcular .
Pela regra do produto:
Mas sabemos o seguinte:
Usando o que achamos no Passo 1:
Logo,
Passo 4
Pra finalizar, vamos ver como fica a expressão do lado esquerdo, isto é:
Usando os resultados do Passo 2 e 3:
Fazendo as contas:
Portanto,
Como :
Acabou 😊
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)