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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.Revisão - Ex. 13

Determine as derivadas parciais de primeira ordem.

f x , y = 5 y 3 + 2 x 2 y 8

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade hoje meu amigo.

Bom, o problema pede para achar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Para isso, basta tomar as derivadas usando as regras de derivação!

f x , y = 5 y 3 + 2 x 2 y 8

A gente tem essa função, sendo assim iremos derivar parcialmente em relação a x e a y . Para derivarmos parcialmente deveremos derivar em relação a variável que a gente quer, e deveremos considerar as outras variáveis como constantes.

Veja que aqui teremos que utilizar a regra da cadeia, pois estamos derivando uma função composta.

Passo 2

Neste caso, temos uma função de x e y . Derivando pela regra da cadeia:

f x , y = 5 y 3 + 2 x 2 y 8

Derivando em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x g x 8 ⋅ ∂ ∂ x 5 y 3 + 2 x 2 y

Realizando então as derivações da forma que a gente comentou no passo 1 :

∂ f ∂ x = 8   5 y 3 + 2 x 2 y 7 ⋅ ∂ ∂ x ( 5 y 3 + 2 x 2 y )

Agora a gente vai montar a derivada para f y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y g y 8 ⋅ ∂ ∂ y 5 y 3 + 2 x 2 y

Temos então:

∂ f ∂ y = 8   5 y 3 + 2 x 2 y 7 ⋅ ∂ ∂ y ( 5 y 3 + 2 x 2 y )

Mas sabemos que:

∂ ∂ x 5 y 3 + 2 x 2 y = 4 x y

e

∂ ∂ y 5 y 3 + 2 x 2 y = 15 y 2 + 2 x 2

Assim, as derivadas ficam como:

∂ f ∂ x = 32 x y   ( 5 y 3 + 2 x 2 y )

∂ f ∂ y = 8   5 y 3 + 2 x 2 y ( 15 y 2 + 2 x 2 )

Resposta

∂ f ∂ x = 32 x y   ( 5 y 3 + 2 x 2 y )

∂ f ∂ y = 8   5 y 3 + 2 x 2 y ( 15 y 2 + 2 x 2 )

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