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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 40

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

u = s e n ( x 1 + 2 x 2 + … + n x n )

Passo 1

E aí, galera. Beleza?

Bom, nessa questão nós temos a função u = f x 1 , x 2 ,   … ,   x n   dada por

u = sen ⁡ x 1 + 2 x 2 + … + n x n        

e queremos determinar as derivadas parciais da função com relação a cada variável.

Inicialmente, parece esquisito, pois teríamos que fazer n derivadas. Mas vamos fazer a derivada para somente uma variável e ver que o raciocínio se aplica às outras.

Vem comigo!

Passo 2

Bom, nesse para cada k = 1,2 , … n nós vamos ter uma derivada. De forma geral, para x i nós temos:

u x k = ∂ u ∂ x k

u x i = ∂ ∂ x i sen ⁡ x 1 + 2 x 2 + … + k   x k + … + n x n    

Aqui, para fazer essa derivada com relação à variável x i , vamos precisar da regra da cadeia.

No contexto da nossa questão, precisamos fazer a derivada de uma função do tipo

f x = sen ⁡ g x

Pela regra da cadeia,

f ' x = cos ⁡ g x     d d x g x

Portanto, para várias variáveis:

u x k = cos ⁡ ( x 1 + 2 x 2 + … + k   x k + … + n x n )   ∂ ∂ x i x 1 + 2 x 2 + … + k   x k + … + n x n  

u x k = cos ⁡ x 1 + 2 x 2 + … + k x k + … + n x n ( i )

u x k = k cos ⁡ x 1 + 2 x 2 + … + n x n

E... só!

Poderíamos repetir esse procedimento para as n variáveis, mas o resultado seria sempre o mesmo.

Resposta

u x k = k cos ⁡ x 1 + 2 x 2 + … + n x n

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