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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 39

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

u = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2

Passo 1

E aí, galera. Beleza?

Bom, nessa questão nós temos a função u = f x 1 , x 2 ,   … ,   x n   dada por

u = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2      

E queremos determinar as derivadas parciais da função com relação a cada variável.

Inicialmente, parece esquisito, pois teríamos que fazer n derivadas. Mas vamos fazer a derivada para somente uma variável e ver que o raciocínio se aplica às outras.

Vem comigo!

Passo 2

Para cada i = 1,2 , … n nós vamos ter uma derivada. De forma geral, para x i nós temos:

u x i = ∂ u ∂ x i

u x i = ∂ ∂ x i x 1 2 + x 2 2 + … + x i 2 + … + x n 2

Aqui, para fazer essa derivada com relação à variável x i , vamos precisar da regra da cadeia.

No contexto da nossa questão, precisamos fazer a derivada de uma função do tipo

f x = g x

Pela regra da cadeia,

f ' x = 1 2 g x     d d x g x

Portanto,

u x i = 1 2 x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2     ∂ ∂ x i x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2  

Fazendo essa conta, temos

u x i = 1 2 x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2   2 x i

u x i = x i x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2  

Para cada variável x i faríamos o mesmo procedimento e o resultado seria o mesmo.

Resposta

u x i = x i x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2  

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