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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 1c

1. Determine as derivadas parciais

c) z = (x^3 + y^2)/(x^2 + y^2)

Passo 1

As derivadas parciais são nada mais nada menos do que derivar primeiro em x e considerar y como constante e depois derivar y e considerar x como constante.

Então, para a nossa questão, vamos derivar em x,

(del z)/(del x) = (del)/(del x) (x^3 + y^2)/(x^2 + y^2) = (3 x^2 (x^2 + y^2) - 2 x (x^3 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) = (3 x^4 + 3 x^2 y^2 - 2 x^4 - 2 x y^2)/((x^2 + y^2)^2) = (x^4 + 3 x^2 y^2 - 2 x y^2)/((x^2 + y^2)^2)

E agora vamos derivar em y,

(del z)/(del y) = (del)/(del y) (x^3 + y^2)/(x^2 + y^2) = (2 y (x^2 + y^2) - 2 y (x^3 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) = (2 y ((x^2 + y^2) - (x^3 + y^2)))/((x^2 + y^2)^2) = (2 y (x^2 (1 - x)))/((x^2 + y^2)^2) = (2 x^2 y (1 - x))/((x^2 + y^2)^2)

Resposta

(del z)/(del x) = (x^4 + 3 x^2 y^2 - 2 x y^2)/((x^2 + y^2)^2)

e

(del z)/(del y) = (2 x^2 y (1 - x))/((x^2 + y^2)^2)

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11. f x , y = y 2 ln ⁡ x 2 + y 2
28. Seja f (x , y) = {[[(x y)/(x^2 + y^2)],[0]]) (s e ( x , y ) != ( 0,0 ))/(s e (x , y) = ( 0,0 )) calcular (del f)/(del x) e (del f)/(del y) .
16. z = (x + y) e^(x + 2 y)
15. g x , y = a r ct g y x
17. z = (x^2 y)/(x^2 + 2 y^2)