As derivadas parciais são nada mais nada menos do que derivar primeiro em x e considerar y como constante e depois derivar y e considerar x como constante.
Então, para a nossa questão, vamos derivar em x,
(del z)/(del x) = (del)/(del x) (x^3 + y^2)/(x^2 + y^2) = (3 x^2 (x^2 + y^2) - 2 x (x^3 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) = (3 x^4 + 3 x^2 y^2 - 2 x^4 - 2 x y^2)/((x^2 + y^2)^2) = (x^4 + 3 x^2 y^2 - 2 x y^2)/((x^2 + y^2)^2)
E agora vamos derivar em y,
(del z)/(del y) = (del)/(del y) (x^3 + y^2)/(x^2 + y^2) = (2 y (x^2 + y^2) - 2 y (x^3 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) = (2 y ((x^2 + y^2) - (x^3 + y^2)))/((x^2 + y^2)^2) = (2 y (x^2 (1 - x)))/((x^2 + y^2)^2) = (2 x^2 y (1 - x))/((x^2 + y^2)^2)