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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 21

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f r , s = r   l n ⁡ ( r 2 + s ² )

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo? Vamos resolver uma questãozinha de derivada?

Aqui temos que calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f r , s = r   l n ⁡ ( r 2 + s ² )

Pode perceber que a função polinomial da questão é uma fração. Sendo assim, podemos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia por conta do logaritmo. Para resolvermos essa derivada.

  1. Regra da cadeia

    2. d z d x ​ = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x )

  2. Regra do produto

v x ∙ u x = u ' x ⋅ v + u x ⋅ v ' x

Aliás, quando a questão pede derivada de primeira ordem, significa que precisamos derivar apenas uma vez em relação a r e uma vez em relação a s .

Se ligou nas dicas? Agora podemos começar agora!

Passo 2

Vamos derivar primeiro em relação a r

f r = d f d r r ln ⁡ r 2 + s 2

Temos a multiplicação entre r e l n ⁡ ( r 2 + s ² ) , isso indica que devemos aplicar a regra do produto.

u = r

v = ln ⁡ r 2 + s 2

u ' = 1

v ' = d d r ln ⁡ ( r 2 + s 2 )

Para obter a derivada de v , temos que encontrar a derivada de l n ⁡ ( r 2 + s ² ) , teremos que aplicar a regra da cadeia.

v ' = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x ) = 1 r 2 + s 2 ∙ ( r 2 + s ² ) '

v ' = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x ) = 1 r 2 + s 2 ∙ 2 r

Sendo assim,

u = r

v = ln ⁡ r 2 + s 2

u ' = 1

v ' = 2 r r 2 + s 2

Substituindo na regra do produto

f r = u ' x ⋅ v + u x ⋅ v ' x = 1 ∙ ln ⁡ r 2 + s 2 + r ∙ 2 r r 2 + s 2

f r = ln ⁡ r 2 + s 2 + 2 r ² r 2 + s 2

Passo 3

Vamos derivar a função em relação a s .

f s = d f d s r ln ⁡ r 2 + s 2

Nesta derivada temos um termo constante ( r ) , isso indica que iremos derivar apenas o l n .

f s = r ∙ d f d s ln ⁡ r 2 + s 2

Vamos derivar separadamente, e aplicar a regra da cadeia

f s = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x ) = 1 r 2 + s 2 ∙ ( r 2 + s ² ) '

f s = u ' v x ⋅ v ' x = 1 r 2 + s 2 ∙ 2 s

f s = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x ) = 2 s r 2 + s 2

Sendo assim, colocando novamente a parte constante.

f s = 2 s r r 2 + s 2

Resposta

f r =   l n   r 2 + s 2 +   2 r ² r ² + s ²

f s =   2 s r r ² + s ²

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