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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 26

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

u r , θ = s e n ( r cos ⁡ θ )

Passo 1

Oie, meu brother. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente vai determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função:

u r , θ = s e n ( r cos ⁡ θ )

Para isso a gente precisa derivar em relação a r e considerar θ como constante, para encontrarmos u r e derivar em relação a θ e considerar r como constante para encontrarmos u θ .

Veja que a gente vai precisar utilizar a regra da cadeia aqui, já que temos uma composição de funções.

Passo 2

A gente vai derivar primeiro em relação a r , o resto a gente considera tudo constante:

u r , θ = s e n ( r cos ⁡ θ )

Aplicando a regra da cadeia:

u r = ∂ ∂ r sin ⁡ g u ⋅ ∂ ∂ r r cos ⁡ θ

u r = cos ⁡ ( r cos ⁡ θ ) ( cos ⁡ θ )

Beleza, aqui não dá pra fazer mais nada, então essa é a resposta já!

Agora a gente deriva em relação a θ :

u r , θ = s e n ( r cos ⁡ θ )

Aplicando a regra da cadeia aqui:

u θ = ∂ ∂ θ sin ⁡ g u ⋅ ∂ ∂ θ r cos ⁡ θ

Temos então:

u θ = cos ⁡ ( r cos ⁡ θ ) - r s e n θ

u θ =   - r s e n θ cos ⁡ ( r cos ⁡ θ )

Prontinho😊

Resposta

u r = cos ⁡ ( r cos ⁡ θ ) ( cos ⁡ θ )

u θ =   - r s e n θ cos ⁡ ( r cos ⁡ θ )

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