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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 95d

95. Seja

f (x , y) = {[[(x^3 y - x y^3)/(x^2 + y^2),s,e,,(x , y),!=,(0,0)],[0,s,e,,(x , y),=,(0,0)]])

d) Mostre que f_x y (0,0) = - 1 e f_y x (0,0) = 1 .

Passo 1

Nessa questão, temos que lembrar da definição de derivada parcial que nos remete ao cálculo de derivada, olha só:

f_x (a , b) = underset(h -> 0)(lim) (f (a + h , b) - f (a , b))/(h)

Em relação ao y é bem parecido, olha só:

f_y (a , b) = underset(h -> 0)(lim) (f (a , b + h) - f (a , b))/(h)

Lá do item b), temos o seguinte:

f_x (x , y) = (y (x^4 + 4 x^2 y^2 - y^4))/((x^2 + y^2)^2)

f_y (x , y) = (x^5 - 4 x^3 y^2 - x y^4)/((x^2 + y^2)^2)

Passo 2

Como queremos encontrar f_x y (0,0) , vamos fazer o seguinte:

f_x y (0,0) = (f_x)_y (0,0)

Logo,

f_x y (0,0) = underset(h -> 0)(lim) (f_x (0 , h) - f_x (0,0))/(h) ( i )

Primeiro vamos encontrar f_x (h , 0) . Do Passo 1:

f_x (h , 0) = (h * (0^4 + 4 * 0^2 * h^2 - h^4))/((0^2 + h^2)^2) = - (h^5)/(h^4)

Assim,

f_x (0 , h) = - h

Como f_x (0,0) = 0 , vamos voltar em ( i ) :

f_x y (0,0) = underset(h -> 0)(lim) (f_x (0 , h) - f_x (0,0))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (- h)/(h)

Portanto,

f_x y (0,0) = - 1

Passo 3

Como queremos encontrar f_y x (0,0) , vamos fazer o seguinte:

f_y x (0,0) = (f_y)_x (0,0)

Logo,

f_y x (0,0) = underset(h -> 0)(lim) (f_y (0 , h) - f_y (0,0))/(h) ( i i )

Primeiro vamos encontrar f_y (0 , h) . Do Passo 1:

f_y (h , 0) = (h^5 - 4 * h^3 * 0^2 - h * 0^4)/((h^2 + 0^2)^2) = (h^5)/(h^4)

Assim,

f_x (0 , h) = h

Como f_y (0,0) = 0 , vamos voltar em ( i i ) :

f_y x (0,0) = underset(h -> 0)(lim) (f_y (0 , h) - f_y (0,0))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h)/(h)

Portanto,

f_y x (0,0) = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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