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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 20

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f s , t = s t 2 s 2 + t 2

Passo 1

Eai preparado para resolver uma questãozinha de derivada parcial? Vamos lá! 😊

Pode perceber que a função polinomial é uma fração. Sendo assim, podemos aplicar a regra do quociente para resolvermos essa derivada.

  1. Regra do Quociente

v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

Onde

u ' ( v ( x ) ) é a derivada de u em relação a v , avaliada em v ( x ) .

v ' ( x ) é a derivada de v em relação a x .

Aliás, quando a questão pede derivada de primeira ordem, significa que precisamos derivar apenas uma vez em relação a s e uma vez em relação a t .

Se ligou nas dicas? Agora podemos começar agora!

Passo 2

Nesse caso como as variáveis são s e t e a função é f nós teremos as seguintes derivadas parciais para resolver:

∂ f ∂ s     e     ∂ f ∂ t

Começando por ∂ f ∂ s temos:

∂ f ∂ s = ∂ ∂ s s t 2 s 2 + t 2

Vamos resolver através da regra do quociente

u = s t 2

v = s 2 + t 2

u ' = t 2

v ' = 2 s

Substituindo na equação

f s = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

f s = t 2 ⋅ s 2 + t 2 - s t 2 ⋅ 2 s ​ s 2 + t 2 2

Multiplicando os termos

f s = t 2 s 2 + t 4 - 2 s 2 t 2 ​ s 2 + t 2 2

Simplificando

f s = t 4 - s ² t ² ​ s 2 + t ² 2

Passo 3

Agora para ∂ f ∂ t :

∂ f ∂ t = ∂ ∂ t s t 2 s 2 + t 2

Vamos resolver através da regra do quociente

u = s t 2

v = s 2 + t 2

u ' = 2 t s

v ' = 2 t

Substituindo na equação

f t = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

f t = 2 s t ⋅ ( s 2 + t ² ) - s t ² ⋅ 2 t ​ s 2 + t ² 2

Multiplicando os termos

f t = 2 s 3 t + 2 s t 3 - 2 s t 3 ​ s 2 + t 2 2

Simplificando os termos

f t = 2 s 3 t ​ s 2 + t ² 2

Resposta

∂ f ∂ s = - s 2 t 2 + t 4 s 2 + t 2 2

∂ f ∂ t = 2 s 3 t s 2 + t 2 2

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