6- Determine os sinais das derivadas parciais da função f cujo gráfico está mostrado.

a) f_x(-1,2)

b) f_y(-1,2)

c f_xx(-1,2)

d f_{yy}(-1,2)

Passo 1

Fala galerinha. De boa?

O objetivo dessa questão é determinar os sinais das derivadas parciais da função em um ponto. Você se lembra o que são derivadas parciais?

Primeiramente, vamos lembrar que derivadas são taxas de variação.

E as derivadas parciais são derivadas com relação a uma variável, quando consideramos a outra como constante. Ou seja, esse termo f x ( - 1,2 ) é a variação da função na direção do eixo x , ou seja, com y constante, no ponto em que x = - 1 e y = 2 .

como a função f varia em relação a x e y E precisamos fazer isso observando o gráfico tridimensional. A análise da inclinação do gráfico em direções específicas fornece os sinais das derivadas parciais. Mas temos que lembrar de mais um conceito: derivada positiva significa que a curva é crescente e derivada negativa significa que a curva é decrescente.

Para resolver vamos fazer o seguinte, para cada ponto, devemos observar a variação da altura (eixo z ) ao longo dos eixos x oue y e, a partir disso, vamos descobrir se as derivadas parciais são positivas ou negativas.

Vamos começar a analisar!

Passo 2

a) f x ( - 1,2 )

Se traçarmos uma reta paralela ao eixo x em y = 2 nós vemos que a função forma uma parábola com ponto mínimo em x = 0 , como mostra a imagem a seguir.

logo se formos pegar o ponto ( - 1,2 ) e andarmos na direção positiva de x vemos que z diminui, logo f x ( - 1,2 ) tem sinal negativo.

Agora se formos pegar o ponto ( - 1,2 ) e andarmos na direção positiva de x vemos que z diminui, logo f x ( - 1,2 ) tem sinal negativo.

Passo 3

Na letra B, vamos traçar uma reta paralela em y em x = - 1 , e nela conseguimos ver uma espécie de função ímpar (como um y 3 ) e que se andarmos na direção de y vemos que o valor de z tende a diminuir, logo f y ( - 1,2 ) é negativo.

Passo 4

Na letra C, vamos analisar as concavidades, a concavidade em x . A parábola vista em x aponta para cima, o que nos diz que f x x ( - 1,2 ) tem sinal positivo.

Passo 5

E por último na letra D, assim como a concavidade da função na reta em y aponta para baixo, fazendo com que f y y ( - 1,2 ) tenha sinal negativo.

Resposta

a ) n e g a t i v o

b ) n e g a t i v o

c ) p o s i t i v o

d )   n e g a t i v o

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