Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 24
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!
A questão nos pede para encontrar as derivadas de primeira ordem da função (nesse caso e ) mas como fazemos isso?
É de boa: Para encontrar a derivada , por exemplo, nós tratamos como uma constante e derivamos a função em normalmente!
Aqui temos:
“Mas e nesse caso que a função é uma integral, eu vou precisar integrar primeiro pra derivar depois?”
Vamos relembrar o teorema fundamental do cálculo!
Ele diz que:
Onde é a primitiva (ou antiderivada) da função !
Dessa forma, sendo a nossa função
Onde
Temos, usando o teorema
Agora, com a função nesse formato, podemos usar nossa estratégia de sempre para encontrar as derivadas parciais!
Passo 2
Para encontrar , tratamos como uma constante e derivamos a função em :
Mas sabemos que
De forma que
E substituindo na nossa funçãozinha nós ficamos com
E da mesma forma, para encontrar , tratamos como uma constante e derivamos a função em
E substituindo na nossa funçãozinha nós ficamos com