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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 3

Seja s = f (x , y , z , w) dada por s = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) . Verifique que

x (del s)/(del x) + y (del s)/(del y) + z (del s)/(del z) + w (del s)/(del w) = 0

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de quatro variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática.

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas parciais da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Note que o enunciado nos confunde com um tal de s aparecendo na parada. Bem, na realidade temos s = f , então simplesmente ignore esse cara. Vamos chamar tudo de f mesmo.

Passo 2

Temos f (x , y , z , w) = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) . Assim, calculando a derivada em x , temos:

(del f (x , y , z . w))/(del x) = (del)/(del x) [e^(((x)/(y) - (z)/(w)))] = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) (del)/(del x) [(x)/(y) - (z)/(w)]

Daí, calculamos a derivada simplesmente tratando todo mundo menos o x como uma constante:

(del f (x , y , z . w))/(del x) = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) [(1)/(y)]

Passo 3

Agora, calculando a derivada da f em y , temos:

(del f (x , y , z . w))/(del y) = (del)/(del y) [e^(((x)/(y) - (z)/(w)))] = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) (del)/(del y) [(x)/(y) - (z)/(w)]

Daí, calculamos a derivada simplesmente tratando todo mundo menos o y como uma constante:

(del f (x , y , z . w))/(del y) = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) [- (x)/(y^2)]

Passo 4

Agora, calculando a derivada da f em z , temos:

(del f (x , y , z . w))/(del z) = (del)/(del z) [e^(((x)/(y) - (z)/(w)))] = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) (del)/(del z) [(x)/(y) - (z)/(w)]

Daí, calculamos a derivada simplesmente tratando todo mundo menos o z como uma constante:

(del f (x , y , z . w))/(del z) = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) [- (1)/(w)]

Passo 5

Enfim, calculando a derivada da f em w , temos:

(del f (x , y , z . w))/(del w) = (del)/(del w) [e^(((x)/(y) - (z)/(w)))] = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) (del)/(del w) [(x)/(y) - (z)/(w)]

Daí, calculamos a derivada simplesmente tratando todo mundo menos o w como uma constante:

(del f (x , y , z . w))/(del w) = e^(((x)/(y) - (z)/(w))) [(z)/(w^2)]

Passo 6

Agora que obtivemos todas as derivadas da f , bata substituir na fórmula dada com cuidado. No momento vamos desenvolver só a parte esquerda da fórmula, ou seja:

x (del f)/(del x) + y (del f)/(del y) + z (del f)/(del z) + w (del f)/(del w)

Quanto será que vele esta expressão? Basta substituir os resultados que já temos, obtendo:

x e^(((x)/(y) - (z)/(w))) [(1)/(y)] + y e^(((x)/(y) - (z)/(w))) [- (x)/(y^2)] + z e^(((x)/(y) - (z)/(w))) [- (1)/(w)] + w e^(((x)/(y) - (z)/(w))) [(z)/(w^2)]

Cortando o termo e^(((x)/(y) - (z)/(w))) de todo mundo e simplificando, obtemos:

[(x)/(y)] + [- (x)/(y)] + [- (z)/(w)] + [(z)/(w)]

Mas perai! Esses termos se cancelam aos pares! O lado esquerdo da igualdade dada é zero! Maravilha! Acabamos de provar o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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